قضیه پیک در مورد مساحت

Question

قضیه پیک چه گونه اثبات می شود؟

Answer 1

حقیقتش من اولین باره که اسم این قضیه رو شنیدم و وقتی سرچ کردم اینو پیدا کردم: Pick's Theorem

من اثبات رو از روی اون صفحه می نویسم براتون:

قضیه پیک: فرض کنید یک چندضلعی ساده روی یک شبکه از نقاط هم فاصله (دستگاه مختصات با مختصات صحیح ) داده شده باشد به طوریکه هر راس این چند ضلعی روی یکی از این نقاط قرار داشته باشد. اگر $i$ تعداد نقاط این شبکه که درون چندضلعی و $b$ تعداد نقاط این شبکه که روی مرز چندضلعی( یعنی اضلاع چندضلعی) قرار دارد باشند آنگاه مساحت این چندضلعی را که با $A$ نمایش می دهیم برابر است با:

$$A=i+\frac b2-1$$

اثبات: فرض کنید $P$ یک چندضلعی و $T$ یک مثلث باشد که دارای یک ضلع مشترک باشند. همچنین فرض کنید قضیه پیک برای $p$و $T$ به صورت جداگانه برقرار باشد. نشان می دهیم قضیه پیک برای چندضلعی $PT$ که از $P$ و $T$ تشکیل شده برقرار است.

چون $P$ و $T$ دارای یک ضلع مشترک هستند لذا تمام نقاط روی این ضلع مشترک به نقاط درونی چندضلعی جدید $PT$ تبدیل می شوند، به جز برای دو نقطه انتهایی این ضلع مشترک که نقاط روی مرز باقی می مانند. اگر تعداد نقاط مرزی روی ضلع مشترک را با $c$ نمایش دهیم داریم:

$$i_{PT}=i_P+i_T+(c-2)$$

از طرفی برای تعداد ضلعها هم داریم:

$$b_{PT}=(b_P+b_T)-2(c-2)-2$$ در واقع چون وقتی تعداد نقاط روی اضلاع $b_P$ و $b_T$ را می شماریم دو بار نقاطی را که در هر دو شکل مشترک هستند می شماریم پس در فرمول بالا در آخر $-2(c-2)$ را نوشتیم و چون نقاط انتهایی ضلع مشترک هم دو بار شمرده شده اند در آخر $-2$ نوشتیم.

بنابراین از فرمول های بالا داریم :

$$(i_P+i_T)=i_{PT}-(c-2)\\(b_P+b_T)=b_{PT}+2(c-2)+2$$

اما واضح است که مساحت $PT$ با مجموع مساحت های $P$و $T$ برابر است(چون این دو را به هم چسبانده ایم و شکل جدید را ساختیم) لذا $A_{PT}=A_P+A_T$

اما ما فرض کردیم که قضیه پیک برای $P$ و $T$ درست باشد لذا داریم:

$$\begin{align}A_{PT}&=A_P+A_T\\ &=(i_P+\frac{b_P}{2}-1)+(i_T+\frac{b_T}{2}-1)\\ &=(i_P+i_T)+(\frac{b_P+b_T}{2})-2\\ &=(i_{PT}-(c-2))+(\frac{b_{PT}+2(c-2)+2}2)-2\\ &=i_{PT}+\frac{b_{PT}}{2}-1\end{align}$$ یعنی ثابت شد قضیه برای $PT$ هم درست است.

لذا اگر قضیه برای چندضلعی ای که از به هم چسباندن $n$ مثلث به وجود آمده درست باشد آنگاه برای چندضلعی ای که از به هم چسباندن $(n+1)$ مثلث به وجود آمده است نیز قضیه برقرار است. اما همواره یک چندضلعی را می توان به چند مثلث تقسیم کرد. پس برای اثبات قضیه به وسیله ی استقرا کافی است ما نشان دهیم که قضیه برای یک مثلث هم برقرار است. اما برای اثبات قضیه برای مثلث مراحل زیر را باید طی کرد:

• قضیه برای هر مربع واحد برقرار است(هر راس دارای مختصات صحیح باشد)
• از این نتیجه بگیرید که قضیه برای هر مستطیلی که اضلاعش موازی محورها باشند برقرار است
• از این هم نتیجه بگیرید که قضیه برای مثلث های قایم الزاویه که از نصف کردن مستطیل در راستای قطر آن به وجود می آید برقرار است
• حال برای هر مثلثی چون می توان با اضافه کردن مثلث های قایم الزاویه آن را به مستطیل تبدیل کرد و چون قضیه برای مستطیل ها و مثلث های قایم الزاویه برقرار است لذا برای مثلث اولیه هم برقرار است.

مرحله آخر از این حقیقت استفاده میکند که اگر قضیه برای چند ضلعی $PT$ و مثلث $T$ درست باشد آنگاه برای $P$ هم درست است. که اثبات این مطلب هم خیلی شبیه اثباتی است که در بالا ارایه شد.

Comments

سپاس از پاسخ تان