به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
4,343 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

قضیه پیک چه گونه اثبات می شود؟

مرجع: مجله ریاضی

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

حقیقتش من اولین باره که اسم این قضیه رو شنیدم و وقتی سرچ کردم اینو پیدا کردم: Pick's Theorem

من اثبات رو از روی اون صفحه می نویسم براتون:

قضیه پیک: فرض کنید یک چندضلعی ساده روی یک شبکه از نقاط هم فاصله (دستگاه مختصات با مختصات صحیح ) داده شده باشد به طوریکه هر راس این چند ضلعی روی یکی از این نقاط قرار داشته باشد. اگر $i$ تعداد نقاط این شبکه که درون چندضلعی و $b$ تعداد نقاط این شبکه که روی مرز چندضلعی( یعنی اضلاع چندضلعی) قرار دارد باشند آنگاه مساحت این چندضلعی را که با $A$ نمایش می دهیم برابر است با: $$A=i+\frac b2-1$$

enter image description here

اثبات: فرض کنید $P$ یک چندضلعی و $T$ یک مثلث باشد که دارای یک ضلع مشترک باشند. همچنین فرض کنید قضیه پیک برای $p$و $T$ به صورت جداگانه برقرار باشد. نشان می دهیم قضیه پیک برای چندضلعی $PT$ که از $P$ و $T$ تشکیل شده برقرار است.

چون $P$ و $T$ دارای یک ضلع مشترک هستند لذا تمام نقاط روی این ضلع مشترک به نقاط درونی چندضلعی جدید $PT$ تبدیل می شوند، به جز برای دو نقطه انتهایی این ضلع مشترک که نقاط روی مرز باقی می مانند. اگر تعداد نقاط مرزی روی ضلع مشترک را با $c$ نمایش دهیم داریم: $$i_{PT}=i_P+i_T+(c-2)$$

از طرفی برای تعداد ضلعها هم داریم: $$b_{PT}=(b_P+b_T)-2(c-2)-2$$ در واقع چون وقتی تعداد نقاط روی اضلاع $b_P$ و $b_T$ را می شماریم دو بار نقاطی را که در هر دو شکل مشترک هستند می شماریم پس در فرمول بالا در آخر $-2(c-2)$ را نوشتیم و چون نقاط انتهایی ضلع مشترک هم دو بار شمرده شده اند در آخر $-2$ نوشتیم.

بنابراین از فرمول های بالا داریم : $$(i_P+i_T)=i_{PT}-(c-2)\\(b_P+b_T)=b_{PT}+2(c-2)+2$$

اما واضح است که مساحت $PT$ با مجموع مساحت های $P$و $T$ برابر است(چون این دو را به هم چسبانده ایم و شکل جدید را ساختیم) لذا $A_{PT}=A_P+A_T$

اما ما فرض کردیم که قضیه پیک برای $P$ و $T$ درست باشد لذا داریم: $$\begin{align}A_{PT}&=A_P+A_T\\ &=(i_P+\frac{b_P}{2}-1)+(i_T+\frac{b_T}{2}-1)\\ &=(i_P+i_T)+(\frac{b_P+b_T}{2})-2\\ &=(i_{PT}-(c-2))+(\frac{b_{PT}+2(c-2)+2}2)-2\\ &=i_{PT}+\frac{b_{PT}}{2}-1\end{align}$$ یعنی ثابت شد قضیه برای $PT$ هم درست است.

لذا اگر قضیه برای چندضلعی ای که از به هم چسباندن $n$ مثلث به وجود آمده درست باشد آنگاه برای چندضلعی ای که از به هم چسباندن $(n+1)$ مثلث به وجود آمده است نیز قضیه برقرار است. اما همواره یک چندضلعی را می توان به چند مثلث تقسیم کرد. پس برای اثبات قضیه به وسیله ی استقرا کافی است ما نشان دهیم که قضیه برای یک مثلث هم برقرار است. اما برای اثبات قضیه برای مثلث مراحل زیر را باید طی کرد:

  • قضیه برای هر مربع واحد برقرار است(هر راس دارای مختصات صحیح باشد)
  • از این نتیجه بگیرید که قضیه برای هر مستطیلی که اضلاعش موازی محورها باشند برقرار است
  • از این هم نتیجه بگیرید که قضیه برای مثلث های قایم الزاویه که از نصف کردن مستطیل در راستای قطر آن به وجود می آید برقرار است
  • حال برای هر مثلثی چون می توان با اضافه کردن مثلث های قایم الزاویه آن را به مستطیل تبدیل کرد و چون قضیه برای مستطیل ها و مثلث های قایم الزاویه برقرار است لذا برای مثلث اولیه هم برقرار است.

مرحله آخر از این حقیقت استفاده میکند که اگر قضیه برای چند ضلعی $PT$ و مثلث $T$ درست باشد آنگاه برای $P$ هم درست است. که اثبات این مطلب هم خیلی شبیه اثباتی است که در بالا ارایه شد.

دارای دیدگاه توسط
سپاس از پاسخ تان
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...