1) فرض کنید$R$ حلقه ای باشد شامل میدان $k$ و فرض کنید $ I_{1},..., I_{n} $ ایده ال هایی از $R$ باشند.
اگر $( f_{1},..., f_{n}) \subset I_{i} $ نباشد به ازای هر $i=1,...,s$ بنابراین یک چندجمله ای همگن ناصفر
$g( t_{1},..., t_{n}) \in k[t_{1},..., t_{n} ] $ با این ویژگی وجود دارد که $ \sum a_{i} f_{i} \in \bigcup_j I_{j} $ نیست، برای همه
$( a_{1},..., a_{n}) \in k^{n} $ به طوریکه $g(a_{1},..., a_{n}) \neq 0$ .
در حالت خاص،اگر $k$ نامتناهی باشد بنابراین یک عضو $ (a_{2},..., a_{n}) \in k^{n-1} $ وجود دارد به طوریکه
$ f_{1}+ \sum_2^n a_{i} f_{i} \in \bigcup_j I_{j} $ نیست.
2)فرض کنید $R$یک حلقه باشد و فرض کنید$ I_{1},..., I_{n} $ ایده ال های اولی از $R$ باشند. اگر $f \in R$ و $J \rhd R$ باشد
به طوریکه برای $i=1,...,n$, $f+J \subset I_{i} $ نباشد بنابراین یک $g \in J$ وجود دارد
با این ویژگی که $f+g \in \bigcup_j I_{j} $ نیست.
در حالت خاص، اگر $ ( f_{1},..., f_{s}) \subset I_{i} $ نباشد برای $i=1,...,n$ بنابراین یک عضو
$ ( a_{2},..., a_{n} ) \in R^{n-1} $ وجود دارد به طوریکه $ f_{1}+ \sum_2^n a_{i} f_{i} \in \bigcup_j I_{j} $ نیست.
