اگر $I$ ایده‌ آل متناهی مولد مشمول در یک ایده آل اول مینیمال باشد نشان دهید $I$ عضوی غیرصفر از $R$ را صفر میکند.

Question

با سلام اگر $I$ ایده‌ آل متناهی مولد مشمول در یک ایده آل اول مینیمال باشد نشان دهید $I$ عضوی غیرصفر از $R$ را صفر میکند.

Answer 1

اگر $ P=(0) $ آنگاه $I=(0) $ و در این حالت $I $ تمام عناصر $R $ را صفر می کند پس فرض کنید که$ P \neq (0) $(مطلب اضافی: یعنی ایده آل $ (0) $ یک ایده آل اول نیست پس وجود دارند عناصری مانند $ a,b$ که $ab \in (0) $ ولی $ a \notin (0)$ و$ b \notin (0) $ بطور معادل $ab=0 $ ولی $ a \neq 0 $ و $b \neq 0 $) حال به ازای هر $ x \notin P $ایده آل $ Ann(x) $ را در نظر می گیریم اگر $ s \in Ann(x) $ آنگاه $sx=0 \in P $ و چون $ P $ ایده آل اول است و$ x \notin P $ لذا $s \in P $ یعنی $Ann(x) \subseteq P $ است

حال فرض کنید $ Ann(x) $ عنصر ماکسیمال بین تمام این پوچسازها باشد که زیر مجموعه ای از $ P$ هستند. نشان می دهیم که $Ann(x)$ ایده آل اولی است و چون $Ann(x) \subseteq P $ و $ P $ مینیمال بودپس برابرند یعنی به ازای هر عنصر مانند $t \in P $ داریم که $tx=0 $ پس $ P $ این عنصر را صفر میکند و چون $ I \subseteq P $ پس $ I $ این عنصر را نیز صفر می کند همچنین نشان می دهیم که این عنصر یعنی $ x $ ناصفر است

1) $ x $ ناصفر است: اگر صفر باشد آنگاه $Ann(x)=R $ پس $P=R $ ولی این رابطه با اینکه $ P $ ایده آل اول است لذا ایده آلی سره است در تناقض است.

2)$ Ann(x) $ ایده آل اول است: فرض کنید که $ab \in Ann(x) $نشان می دهیم که یا $a \in Ann(x) $ یا $b \in Ann(x) $ (دقت کنید که $x \notin P $ پس $ ab \in P $ یعنی $a \in P$ یا $b \in P $ بدون کاستن از کلیت فرض کنید که $a \in P $)

فرض کنید چنین نباشد چون $ab \in Ann(x) $ پس $a(bx)=abx=0 $ پس $a \in Ann(bx) $ و براحتی می توان دید که $ Ann(x) \subseteq Ann(bx) $ اما $ a \in Ann(bx)$ و $ a \notin Ann(x) $ لذا زیر مجموعه سره است ولی $ Ann(x) $ ماکسیمال بود و این تناقض است.

Comments

در خط اول پاراگراف دوم چرا عضو ماکسیمال بین تمام پوچ سازها وجود دارد؟