اگر $I$ ایده‌ آل متناهی مولد مشمول در یک ایده آل اول مینیمال باشد نشان دهید $I$ عضوی غیرصفر از $R$ را صفر میکند.

Question

با سلام اگر $I$ ایده‌ آل متناهی مولد مشمول در یک ایده آل اول مینیمال باشد نشان دهید $I$ عضوی غیرصفر از $R$ را صفر میکند.

Answer 1

اگر $P=(0)$ آنگاه $I=(0)$ و در این حالت $I$ تمام عناصر $R$ را صفر می کند پس فرض کنید که$P \neq (0)$(مطلب اضافی: یعنی ایده آل $(0)$ یک ایده آل اول نیست پس وجود دارند عناصری مانند $a,b$ که $ab \in (0)$ ولی $a \notin (0)$ و$b \notin (0)$ بطور معادل $ab=0$ ولی $a \neq 0$ و $b \neq 0$) حال به ازای هر $x \notin P$ایده آل $Ann(x)$ را در نظر می گیریم اگر $s \in Ann(x)$ آنگاه $sx=0 \in P$ و چون $P$ ایده آل اول است و$x \notin P$ لذا $s \in P$ یعنی $Ann(x) \subseteq P$ است

حال فرض کنید $Ann(x)$ عنصر ماکسیمال بین تمام این پوچسازها باشد که زیر مجموعه ای از $P$ هستند. نشان می دهیم که $Ann(x)$ ایده آل اولی است و چون $Ann(x) \subseteq P$ و $P$ مینیمال بودپس برابرند یعنی به ازای هر عنصر مانند $t \in P$ داریم که $tx=0$ پس $P$ این عنصر را صفر میکند و چون $I \subseteq P$ پس $I$ این عنصر را نیز صفر می کند همچنین نشان می دهیم که این عنصر یعنی $x$ ناصفر است

1) $x$ ناصفر است: اگر صفر باشد آنگاه $Ann(x)=R$ پس $P=R$ ولی این رابطه با اینکه $P$ ایده آل اول است لذا ایده آلی سره است در تناقض است.

2)$Ann(x)$ ایده آل اول است: فرض کنید که $ab \in Ann(x)$نشان می دهیم که یا $a \in Ann(x)$ یا $b \in Ann(x)$ (دقت کنید که $x \notin P$ پس $ab \in P$ یعنی $a \in P$ یا $b \in P$ بدون کاستن از کلیت فرض کنید که $a \in P$)

فرض کنید چنین نباشد چون $ab \in Ann(x)$ پس $a(bx)=abx=0$ پس $a \in Ann(bx)$ و براحتی می توان دید که $Ann(x) \subseteq Ann(bx)$ اما $a \in Ann(bx)$ و $a \notin Ann(x)$ لذا زیر مجموعه سره است ولی $Ann(x)$ ماکسیمال بود و این تناقض است.

Comments

در خط اول پاراگراف دوم چرا عضو ماکسیمال بین تمام پوچ سازها وجود دارد؟