1) دقت کنید که منظور از $(x,y) $ همان $ \frac{(x,y) }{ (x,y) ^{2} } $ است و عناصر آن به صورت
$m+(x,y) ^{2} $ است که $m \in (x,y)$ با کمی دقت می بینیم که تنها عناصر غیر صفر این ایده آل
$ x+(x,y) ^{2} $ و$ y+(x,y) ^{2} $و$x+y +(x,y) ^{2} $ هستند لذا اگر ایده آلهای
$ (x) $ و $ (y) $ و $ (x+y) $ را در نظر بگیریم آنگاه به وضوح $ (x,y) $ زیر مجموعه ی اجتماع این سه ایده آل است ولی زیر مجموعه ی هیچ کدام نیست.
2)دقت کنید که منظور از $( x^{2} ,y) $ همان $ \frac{(x^{2} ,y) }{ (xy,y^{2}) } $ است و عناصر آن به صورت
$m+(xy,y^{2}) $ است که $m \in ( x^{2} ,y) $ با کمی دقت می بینیم که تنها عناصر غیر صفر این ایده آل
$x^{2} +(xy,y^{2}) $ و$ y+(xy,y^{2}) $و$x^{2} +y +(xy,y^{2}) $ هستند که در آن
$ x^{2} +y $ همگن نیست لذا تنها عناصر همگن $x^{2} +(xy,y^{2}) $ و$ y+(xy,y^{2}) $ هستند که به وضوح در اجتماع دو ایده آل داده شده قرار دارند اما $ x^{2} +y \in ( x^{2} ,y) $ ولی این عنصر در هیچ یک از ایده آلهای داده شده نیشت.
اینجا که گفته شده $ \frac{(x,y) }{ (x,y) ^{2} } $ فقط دارای 3 عنصر غیر صفره از $ K $ استفاده شده چون عناصری مانند $2x$ و$2y$ را صفر کرده و باعث شده که$2x+y$ همان $y$ باشه و یا $3x=2x+x=0+x=x$
