مضارب $p$ در $n!$ به صورت زیر هستند:
$$p,2p,3p,...,t_1p\quad , t_1p\leq n,\ (t_1+1)p> n$$
و $t_1\in\mathbb N$ لذا $\frac np-1< t_1\leq \frac np$ بنابراین $t_1=[\frac np]$
حال مضارب $p^2$ را حساب کنیم:
$$p^2,2p^2,3p^2,...,t_2p^2\quad, t_2p^2\leq n,(t_2+1)p^n> n$$
بنابراین مانند حالت قبل داریم $t_2=[\frac n{p^2}]$
و همچنین مضارب $p^3$و $p^4$و... را تا جایی حساب می کنیم که داشته باشیم $p^k\leq n$ ولی $p^{k+1}> n$ . بنابراین بزرگترین توانی از $p$ که $n!$ را می شمارد عبارت است از:
$$\alpha=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]+...$$
یعنی $\alpha\in\mathbb N$ به طوریکه $p^\alpha| n!$ اما $\require{cancel}p^{\alpha+1}\cancel{|}n!$
