فکر کنم این راه حل درست باشه. دادهها:
$$ a,a+d,a+2d,...,a+(n-1)d $$
کمیتِ $a$ در پراکندگی و همچنین واریانس تاثیری ندارد. پس میتوانیم دادهها را اینگونه بیان کنیم:
$$0,d,2d,3d,\cdots,(n-1)d$$
واریانس برابر است با $ \sigma ^2=\frac{\sum x_i^2}{n}- \overline{x}^2 $.
$$\overline{x}=\frac{0+d+2d+3d+...+(n-1)d}{n}=\frac{(n/2)(n-1)d}{n}=(d/2)(n-1)\\
\Longrightarrow\overline{x}^2=\frac{d^2}{4}(n-1)^2 \\
\sum x_i^2=d^2(1+4+9+...+(n-1)^2)=^*d^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})\\
\sigma ^2=\frac{d^2}{2}(n-1)(\frac{2n-1}{3}-\frac{n-1}{2})=d^2( \frac{n^2-1}{12} )$$
