کنکور 93 سوال 9: جواب معادله مثلثاتی

Question

جواب کلی معادله مثلثاتی $ \frac{\sin 3x}{\sin x}=2\cos^2x $ کدام است؟

1. $\frac{k\pi} 2 $
2. $\frac{k\pi}2+\frac\pi 4 $
3. $k\pi-\frac\pi 4 $
4. $ k\pi+\frac\pi 4 $

Answer 1

از روابط $$ sin( \alpha + \beta ) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta $$

و

$$ sin2 \alpha =2sin \alpha cos \alpha $$

استفاده میکنیم

داریم $$ \frac{sin3x}{sinx} = 2 cos^{2}x \Rightarrow \frac{sin2x cosx+ cos2x sinx}{sinx} = 2 cos^{2}x $$
$$ \Rightarrow \frac{2sinx cos^{2}x + cos2x sinx }{sinx} = 2 cos^{2}x $$ $$ \Rightarrow 2 cos^{2}x + cos2x = 2 cos^{2}x \Rightarrow cos2x = 0 \Rightarrow 2x = k \pi + \frac{ \pi }{2} $$ $$ x = \frac{k \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} $$

Answer 2