انتگرال$ \int \frac{tanx(tanx-sin2x)}{1-cos2x} $

Question

ایا این انتگرال تابع اولیه داره.. خیلی ممنون.. $$ \int \frac{tanx(tanx-sin2x)}{1-cos2x} $$

Comments

میشه یکی جواب انتگرالو بده..
خیلی خیلی واسم مهمه...ممنون

---

شما همش یک ساعته سوال رو پرسیدید!
روی مساله فکر کردید؟ فکر نکنم سخت باشه.
$1-cos 2x=2sin ^2x$
از این و $tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ استفاده کنید به این میرسید:
$\int\frac{1}{2\cos ^2x}-1=\frac 12\tan x-x+constant$

---

ببخشید اخه لازمش دارم..
میشه جوابشو کامل بذارید
خیلی ممنون..!!

Answer 1

با استفاده از $1-\cos 2x=1-(\cos^2x-\sin^2x)=1-\cos^2x+\sin^2x=\sin^2x+\sin^2x=2\sin^2x$ داریم

$$\begin{align}\int\frac{\tan x(\tan x-\sin 2x)}{1-\cos 2x}&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\frac1{2\sin^2x}(\tan x-2\sin x\cos x)\\ &=\int\frac{1}{2\sin x\cos x}(\frac{\sin x}{\cos x}-2\sin x\cos x)\\ &=\int\frac 1{2\cos ^2x}-1\\ &=\frac12\tan x-x+c\end{align}$$

که $c$ عدد ثابت است.

Answer 2

$$ y= \int \frac{tanx(tanx-sin2x)}{1-cos2x} dx= \int \frac{tan^2x-2sin^2x}{2sin^2x} dx \\ y=\int (\frac{1}{2cos^2x}-1 \ )dx = \int \frac{1}{2} (tan^2x+1) -1 \ dx =\frac{1}{2}tanx-x+C$$