Question

این عبارات چگونه ساده می شوند؟

$$\frac{sinα+sin2α}{cos2α+cosα+1}$$ و $$\frac{sin8x+sin5x+sin2x}{cos8x+cos5x+cos2x}$$

Comments

لطفا در هر سوالی که ایجاد می کنید فقط یک سوال را مطرح نمایید.

Answer 1

روابط زیر را داریم و از آنها برای حل اولی استفاده می کنیم:

$$sin(2 \alpha )=2sin( \alpha )cos( \alpha )$$ $$cos(2 \alpha )= cos^{2}( \alpha ) - sin^{2}( \alpha ) =2cos^{2}( \alpha ) -1$$ برای صورت کسر داریم: $$sinα+sin2α=sinα+2sin( \alpha )cos( \alpha )=sin( \alpha )(1+2cos( \alpha ) )$$ برای مخرج داریم: $$cos2α+cosα+1=2cos^{2}( \alpha ) -1+cosα+1=cos( \alpha )(1+2cos( \alpha ) )$$ پس حاصل کسر برابر $tan( \alpha )= \frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )}$

روابط زیر را داریم و از آنها برای حل دومی استفاده می کنیم:

$$sin(p)+sin(q)=2sin( \frac{p+q}{2} )cos( \frac{p-q}{2})$$ $$cos(p )+cos(p )= 2cos(\frac{p+q}{2} ) cos(\frac{p-q}{2} )$$

برای صورت داریم:

$$sin(8x)+sin(5x)+sin(2x)=2sin( \frac{8+2}{2} x )cos( \frac{8-2}{2}x)+sin(5x)=sin(5x)(2cos(3x)+1)$$ برای مخرج داریم: $$cos(8x)+cos(5x)+cos(2x)=2cos( \frac{8+2}{2} x )cos( \frac{8-2}{2}x)+cos(5x)=cos(5x)(2cos(3x)+1)$$ پس حاصل کسر برابر $tan(5x)= \frac{sin(5x)}{cos(5x)}$