روابط زیر را داریم و از آنها برای حل اولی استفاده می کنیم:
$$sin(2 \alpha )=2sin( \alpha )cos( \alpha )$$
$$cos(2 \alpha )= cos^{2}( \alpha ) - sin^{2}( \alpha ) =2cos^{2}( \alpha ) -1$$
برای صورت کسر داریم:
$$sinα+sin2α=sinα+2sin( \alpha )cos( \alpha )=sin( \alpha )(1+2cos( \alpha ) )$$
برای مخرج داریم:
$$ cos2α+cosα+1=2cos^{2}( \alpha ) -1+cosα+1=cos( \alpha )(1+2cos( \alpha ) )$$
پس حاصل کسر برابر $tan( \alpha )= \frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )} $
روابط زیر را داریم و از آنها برای حل دومی استفاده می کنیم:
$$sin(p)+sin(q)=2sin( \frac{p+q}{2} )cos( \frac{p-q}{2})$$
$$cos(p )+cos(p )= 2cos(\frac{p+q}{2} ) cos(\frac{p-q}{2} )$$
برای صورت داریم:
$$ sin(8x)+sin(5x)+sin(2x)=2sin( \frac{8+2}{2} x )cos( \frac{8-2}{2}x)+sin(5x)=sin(5x)(2cos(3x)+1)$$
برای مخرج داریم:
$$ cos(8x)+cos(5x)+cos(2x)=2cos( \frac{8+2}{2} x )cos( \frac{8-2}{2}x)+cos(5x)=cos(5x)(2cos(3x)+1)$$
پس حاصل کسر برابر $tan(5x)= \frac{sin(5x)}{cos(5x)} $
