چون
$\int \frac{dx}{\sin(x) \cos(x)}=\int \frac{2dx}{\sin(2x) }$،
پس کافی است انتگرال
$\int \frac{dy}{\sin(y) }$
را محاسبه نماییم. اما
$$\int \frac{dy}{\sin(y) }=\int \frac{\sin(y)dy}{\sin^2(y) }= \int \frac{\sin(y)dy}{1-\cos^2(y) }$$,
با جایگزاری
$u= \cos(y)$
کافی است انتگرال
$\int \frac{du}{u^2 -1 }$ را محاسبه نماییم،
اما
$$\begin{align}\int \frac{du}{u^2 -1 } &= \frac{-1}{2}\int \frac{du}{u -1 } + \frac{1}{2}\int \frac{du}{u +1 }\\
& = \frac {1}{2}ln\frac{u+1}{u-1} +C\\
& = \frac {1}{2}ln\frac{\cos y+1}{\cos y-1} +C \\
&= \frac {1}{2}ln\frac{\cos 2x+1}{\cos 2x-1} +C\end{align}$$
