از تغییر متغییر $ u=\tan \ x $ استفاده میکنیم
$$ du=(1+tan^{2} x)dx=(1+ u^{2} )dx \Rightarrow dx= \frac{du}{1+ u^{2}} $$
وهمچنین
$$\sin ^{2} x= \frac{tan^{2} x}{1+\tan^{2} x} = \frac{u^{2}}{1+u^{2}} $$
حال با جایگذاری در صورت سوال داریم:
$$\begin{align} \int \frac{dx }{2- \sin^{2} x}&=\int \frac{du}{(1+ u^{2} )(2-\frac{u^{2}}{1+u^{2}} )} \\
&=\int \frac{du}{2+u^{2}} \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{du}{1+( \frac{u}{ \sqrt{2} }) ^{2}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dw}{1+( w) ^{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1} (w)+C\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1} ( \frac{u}{ \sqrt{2} })+C\end{align}$$
