حاصل انتگرال$\int \frac{dx }{2+ tan \ x}$

Question

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید؟

$$\int \frac{dx }{2+ tan \ x}$$

Answer 1

قرار میدهیم $u=2+tanx$ ,در نتیجه $du=(1+tan^2x)dx$ داریم:

$$\begin{align} \int \frac{dx}{2+tanx}&= \int \frac{du}{[1+(u-2)^2]u}\\ &=- \frac{1}{5} \int \frac{u-1}{(u-1)^2+4}+ \frac{1}{5} \int \frac{1}{(u-1)^2+4} \\ &+ \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}du\\ &= - \frac{1}{10}ln | (u-1)^2+4 | + \frac{1}{20}tan^-1( \frac{u-1}{2} )^2\\ &+ \frac{1}{5}ln | u | \end{align}$$