حل انتگرال$‎‎ \mid \int_ {[‎0,1]} e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid ^{2} = ‎‎\frac{‎\sin^{2}(\pi (T+t))‎}{\pi^{2}(T+t)^2}$

Question

ثابت کنید که

$‎‎ \mid \int_ {[‎0,1]} e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid ^{2} = ‎‎\frac{‎\sin^{2}(\pi (T+t))‎}{\pi^{2}(T+t)^2}$

Answer 1

$$\int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx= \frac{1}{-2 \pi i (T+t)}(e‎^{-2 \pi i (T+t) 1} -e‎^{-2 \pi i (T+t) 0})$$

همچنین:

$$e‎^{-2 \pi i (T+t) 1} -e‎^{-2 \pi i (T+t) 0}=e‎^{-2 \pi i (T+t) }-1=cos(-2 \pi (T+t) )-1+$$ $$isin(-2 \pi (T+t) )$$ داریم: $$\mid \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid = \mid \frac{1}{-2 \pi i (T+t)}(cos(-2 \pi (T+t) )-1+isin(-2 \pi (T+t) ) )\mid=$$ $$\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{(cos(-2 \pi (T+t) )-1)^2+(sin(-2 \pi (T+t) )-1)^2}=$$ $$\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{2-2cos(-2 \pi (T+t) )}$$

حال در مرحله آخر عبارت اصلی را بدست می آوریم:

$$\mid \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid^2=(\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{2-2cos(-2 \pi (T+t) )})^2=$$ $$\frac{1}{4\pi^{2}(T+t)^2}(2(1-cos(2 \pi (T+t) )))$$

میدانیم که $1-cos(2 \pi (T+t) )=2 sin^2( \pi (T+t) )$ پس با جایگذاری داریم:

$$‎‎ \mid \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid ^{2} = ‎‎\frac{‎\sin^{2}(\pi (T+t))‎}{\pi^{2}(T+t)^2}$$

Comments

سپاس از وقتی که تقدیم کردی.