$$ \int_0^1 e^{-2 \pi i (T+t) x}dx= \frac{1}{-2 \pi i (T+t)}(e^{-2 \pi i (T+t) 1} -e^{-2 \pi i (T+t) 0}) $$
همچنین:
$$ e^{-2 \pi i (T+t) 1} -e^{-2 \pi i (T+t) 0}=e^{-2 \pi i (T+t) }-1=cos(-2 \pi (T+t) )-1+$$
$$isin(-2 \pi (T+t) )$$
داریم:
$$ \mid \int_0^1 e^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid = \mid \frac{1}{-2 \pi i (T+t)}(cos(-2 \pi (T+t) )-1+isin(-2 \pi (T+t) ) )\mid=$$
$$ \frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{(cos(-2 \pi (T+t) )-1)^2+(sin(-2 \pi (T+t) )-1)^2}= $$
$$\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{2-2cos(-2 \pi (T+t) )} $$
حال در مرحله آخر عبارت اصلی را بدست می آوریم:
$$ \mid \int_0^1 e^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid^2=(\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{2-2cos(-2 \pi (T+t) )})^2=$$
$$ \frac{1}{4\pi^{2}(T+t)^2}(2(1-cos(2 \pi (T+t) ))) $$
میدانیم که $ 1-cos(2 \pi (T+t) )=2 sin^2( \pi (T+t) )$ پس با جایگذاری داریم:
$$ \mid \int_0^1 e^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid ^{2} = \frac{\sin^{2}(\pi (T+t))}{\pi^{2}(T+t)^2} $$
