به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
133 بازدید
در دانشگاه توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh

حاصل انتگرال زیر را به صورت نامعین و بدون استفاده از خاصیت متناوبی بودن تابع بدست آورید.

$$ \int^{ \frac{ \pi }{2} }_{0^{+} }ln(sin(x))dx $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ

روش حل $ \int ^{ \frac{ \pi }{2}} _{ 0^{+} } ln(sinx)dx\ $ آن به صورت‌ معین به صورت زیر است:

  1. با استفاده از تغییر متغییر $u= \frac{ \pi }{2} -x$ می توان نتیجه گرفت:
$ I= \int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(cosx)dx $
  1. با توجه به تساوی ۱ :
$2I= \int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx+\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(cosx)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sin2x)dx-\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(2)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sin2x)dx- \frac{ \pi }{2}ln(2)$
  1. فرض می کنیم $I_{1}=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sin2x)dx $

با تغییر متغییر $u=2x$ می‌توان دریافت:

$$I_{1}= \frac{1}{2} \int ^{ \pi }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx $$

و با توجه به اینکه

$$I= \frac{1}{2} \int ^{ \pi }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx $$

می توان نتیجه گرفت:

$$ I_{1} =I$$

پس:

$$2I= I_{1} -\frac{ \pi }{2}ln(2) $$

$$ \Longrightarrow I=- \frac{ \pi }{2}ln(2) $$

توسط good4us (7,001 امتیاز)
+2
Dana_Sotoudeh@
درتساوی زیر

$ \int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(cosx)dx $

لطفا درمورد چگونگی حدود انتگرال سمت راست توضیح دهید
توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
+1
با سلام
همانطور که در پاسخ ذکر کردم از تغییر متغیر $u= \frac{ \pi }{2} -x$ استفاده شده است؛ پس $dx=-du$ و انتگرال معین به صورت زیر است:

$$ \int^{0}_{ \frac{ \pi }{2} }-sin( \frac{\pi}{2}-u)du = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cos(u)du  $$
توسط good4us (7,001 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us
+2
Dana_Sotoudeh@ به نظرم این چند نکته دارد یک اینکه ln  را رعایت نکردید دوم اینکه وقتی شما تغییر متغییر می دهید به نظرم حد پایین باید $  \frac{\pi }{2}^{-}  $ باشه و آنگاه با حذف منفی ضریب سینوس اتفاق به شکلی دیگر ظاهر میشه
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@Dana_Sotudeh به نظر من برای آموزش چیزی از بخش بلاگ سایت استفاده کنید و از پرسش برای پرسیدن پرسش‌هایتان که پاسخ‌شان را نمی‌دانید استفاده کنید. فرضا اگر بعدها پاسخی برای پرسشی که پیش‌تر داشتید یافتید، می‌توانید به عنوان پاسخ اینجا هم به اشتراک بگذارید یا اگر از منبع دیگری یافته‌اید به جای کپی‌-پیست کردن پاسخ، ارجاع به منبع‌تان بدهید. اگر هم پرسشی را حل کردید که نمی‌دانید پاسخ‌تان درست است می‌توانید پاسخ یا تلاش‌تان را در ادامهٔ متن پرسش بیاورید و بپرسید آیا مشکلی در پاسخ وجود دارد یا خیر، مانند پست روبرو https://math.irancircle.com/21581
توسط admin (1,694 امتیاز)
+1
@AmirHosein
البته ما کاربران رو به پاسخ دادن به پرسش های خودشون ترغیب می کنیم :)
یعنی حتی اگر کاربری سوال جالبی دیده و فقط میخواهد آن را با دیگران به اشتراک بگذارد می تواند آن سوال را پرسیده و همزمان به آن پاسخ دهد.
قسمت بلاگ سایت به قول شما برای آموزش مطلب خاصی که ممکنه کمی هم طولانی باشه و همچنین مطالب دیگر استفاده میشه.
ممنون از زحمات شما...

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...