$ \int^{ \frac{ \pi }{2} }_{0^{+} }ln(sin(x))dx $

Question

حاصل انتگرال زیر را به صورت نامعین و بدون استفاده از خاصیت متناوبی بودن تابع بدست آورید.

$$ \int^{ \frac{ \pi }{2} }_{0^{+} }ln(sin(x))dx $$

Answer 1

روش حل $ \int ^{ \frac{ \pi }{2}} _{ 0^{+} } ln(sinx)dx\ $ آن به صورت‌ معین به صورت زیر است:

1. با استفاده از تغییر متغییر $u= \frac{ \pi }{2} -x$ می توان نتیجه گرفت:

$ I= \int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(cosx)dx $

2. با توجه به تساوی ۱ :

$2I= \int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx+\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(cosx)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sin2x)dx-\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(2)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sin2x)dx- \frac{ \pi }{2}ln(2)$

3. فرض می کنیم $I_{1}=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sin2x)dx $

با تغییر متغییر $u=2x$ می‌توان دریافت:

$$I_{1}= \frac{1}{2} \int ^{ \pi }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx $$

و با توجه به اینکه

$$I= \frac{1}{2} \int ^{ \pi }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx $$

می توان نتیجه گرفت:

$$ I_{1} =I$$

پس:

$$2I= I_{1} -\frac{ \pi }{2}ln(2) $$

$$ \Longrightarrow I=- \frac{ \pi }{2}ln(2) $$

Comments

Dana_Sotoudeh@
درتساوی زیر

$ \int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(sinx)dx=\int ^{ \frac{ \pi }{2} }_{ 0^{+} } ln(cosx)dx $

لطفا درمورد چگونگی حدود انتگرال سمت راست توضیح دهید

---

با سلام
همانطور که در پاسخ ذکر کردم از تغییر متغیر $u= \frac{ \pi }{2} -x$ استفاده شده است؛ پس $dx=-du$ و انتگرال معین به صورت زیر است:

$$ \int^{0}_{ \frac{ \pi }{2} }-sin( \frac{\pi}{2}-u)du = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cos(u)du  $$

---

Dana_Sotoudeh@ به نظرم این چند نکته دارد یک اینکه ln  را رعایت نکردید دوم اینکه وقتی شما تغییر متغییر می دهید به نظرم حد پایین باید $  \frac{\pi }{2}^{-}  $ باشه و آنگاه با حذف منفی ضریب سینوس اتفاق به شکلی دیگر ظاهر میشه

---

@Dana_Sotudeh به نظر من برای آموزش چیزی از بخش بلاگ سایت استفاده کنید و از پرسش برای پرسیدن پرسش‌هایتان که پاسخ‌شان را نمی‌دانید استفاده کنید. فرضا اگر بعدها پاسخی برای پرسشی که پیش‌تر داشتید یافتید، می‌توانید به عنوان پاسخ اینجا هم به اشتراک بگذارید یا اگر از منبع دیگری یافته‌اید به جای کپی‌-پیست کردن پاسخ، ارجاع به منبع‌تان بدهید. اگر هم پرسشی را حل کردید که نمی‌دانید پاسخ‌تان درست است می‌توانید پاسخ یا تلاش‌تان را در ادامهٔ متن پرسش بیاورید و بپرسید آیا مشکلی در پاسخ وجود دارد یا خیر، مانند پست روبرو https://math.irancircle.com/21581

---

@AmirHosein
البته ما کاربران رو به پاسخ دادن به پرسش های خودشون ترغیب می کنیم :)
یعنی حتی اگر کاربری سوال جالبی دیده و فقط میخواهد آن را با دیگران به اشتراک بگذارد می تواند آن سوال را پرسیده و همزمان به آن پاسخ دهد.
قسمت بلاگ سایت به قول شما برای آموزش مطلب خاصی که ممکنه کمی هم طولانی باشه و همچنین مطالب دیگر استفاده میشه.
ممنون از زحمات شما...