به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
296 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید هر $ \sigma $ -جبر نامتناهی روی مجموعه ناتهی $ X $ ، ناشمارا است.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
yosef.sobhi: خیلی ممنون از سوالتون. لطفا به زبان فارسی بنویسید. من سوالتونو ویرایش کردم.
دارای دیدگاه توسط yosef.sobhi
+2
با سلام و سپاس فراوان از لطف حضرتعالی که به سئوالم پاسخ دادید ببخشیدبنده تازه ازارشدقبول شدم چون 18 ساله از درس فاصله گرفتم با اجازه شما گاهی مزاحم اوقات شریفتان خواهم شد . با احترام و تشکر مجدد از لطفتان

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

برای حل این مساله کافی است از نکته زیر استفاده کنیم:

اگر $ M$ یک سیگما جبر نامتناهی باشد آنگاه $M$ شامل یک دنباله نامتناهی از مجموعه های غیر تهی مجزا است.

(به عنوان مثال به تمرین فصل اول بخش دوم از کتاب فولند Folland رجوع کنید)

خوب حالا ما یک سیگماجبرنامتناهی مثل $M$ داریم بنابراین طبق نکته بالا $M$شامل یک دنباله نامتناهی از مجموعه های غیرتهی مجزا مثل $ \big\{E_i\big\} $ است. حال تابع $f$ را به صورت زیر تعریف می کنیم: $$f:\mathcal P(\mathbb N)\to M$$ $$f(A)=\cup_{i\in A}E_i$$ این تابع خوش تعریف و یک به یک است(چرا؟)

بنابراین $\mathcal P(\mathbb N) \sim f(\mathcal P(\mathbb N)\subset M $.( که $\sim$ نشانه هم توانی است) و این یعنی $\mathcal P(\mathbb N)$ با زیرمجموعه ای از $M$ هم توان است لذا $$card(\mathcal P(\mathbb N))\leq card (M)$$ اما می دانیم که $$card(\mathcal P(\mathbb N))=2^{\aleph_0}=c$$

پس $card(M)\geq c$.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...