ماکزیمم تابع احتمال دوجمله ای

Question

اگر یک آزمایش برنولی با احتمال موفقیت $p$ ، $n$ بار تکرار شود میداینم احتمال $x$ تا پیروزی برابر است با $P(X=x)={n \choose{x}}p^x(1-p)^{n-x} $

ثابت کنید احتمال $x=[(n+1)p]$ از همه بیشتر است.

Answer 1

داریم(چرا؟) : $$P(X=x-1)< P(X=x) \iff x< (n+1)p$$

یعنی ثابت کردیم برای $x< (n+1)p$ تابع $P(X=x)$ صعودی و برای $x> (n+1)p$ تابع $P(X=x)$ نزولی است. (برای اثبات کافی است این رو را برهم تقسیم کنید ببینید چه وقتی بزرگتر از یک و چه وقت کوچکتر از یک می شوند.)

بنابراین بیشترین مقدار در $\lfloor(n+1)p\rfloor $ اتفاق می افتد.