ثابت کنید که $\log_{a}b\cdot c = \log_{a}b + \log_{a}c$

Question

قضیۀ زیر را به دو روش اثبات کنید.

$\log_{a}b\cdot c = \log_{a}b + \log_{a}c$

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

یک روش ساده که وجود دارد با استفاده از این مطلب است که: $$y=\log_a x\iff x=a^y$$ اگر قرار دهیم $y=\log_a bc\tag{*}\label{*}$ در اینصورت $$bc=a^y$$ اما از طرفی $$bc=a^{\log_a b}a^{\log_a c}=a^{\log_a b+\log_a c}$$ لذا از دو تساوی بالا داریم $ a^y= a^{\log_a b+\log_a c}$

لذا $y=\log_a b+\log_a c\tag{**}\label{**}$ و از $\eqref{*},\eqref{**}$ تساوی مورد نظر شما نتیجه می شود.

Answer 2

به نام خدا

ابتدا فرض می‌کنیم که ${\log}_ab=x$ و ${\log}_ac=y$، آنگاه:

$$\left.\begin{array}{l} a^x=b\\ a^y=c \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow b \cdot c=a^x \cdot a^y \Rightarrow bc=a^{x+y}$$

حال از طرفین $bc=a^{x+y}$، در مبنای $a$ لگاریتم می‌گیریم:

$$bc=a^{x+y} \Longrightarrow \log_abc=\log_aa^{x+y} \Rightarrow \log_abc=x+y$$

همانطور که دیدید، به تساوی $\log_abc=x+y$ رسیدیم، و در ابتدای این پاسخ، مقادیر $x$ و $y$ را به‌ترتیب برابر با ${\log}_ab$ و ${\log}_ac$ قرار دادیم؛ پس در تساوی $\log_abc=x+y$ هم، مقادیر ${\log}_ab$ و ${\log}_ac$ را به‌ترتیب بجای $x$ و $y$ قرار می‌دهیم:

$$\log_abc=x+y \Longrightarrow \log_abc=\log_ab+\log_ac$$

پس حکم ثابت شد. $\blacksquare$