اگر مرکز بیضی برابر $ ( \alpha , \beta ) $ باشد چون طول بدست می آوریم پس اگر بیضی را انتقال بدهیم طول تغییری نمی کند پس می توان بیضی را در حالت استاندارد و به مرکز مبدا در نظر گرفت. آنگاه هر یک از کانون ها دارای مختصات $( -c, 0) $ و $ (c, 0 ) $ خواهند بود حال نقطه ی دلخواه $P=(x,y) $ را در نظر میگیریم خواهیم داشت:
$$p f'^{2} =(x+c)^{2} +y^{2}= x^{2}+c^{2}+2cx+y^{2} $$
اما معادله بیضی به صورت
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ است پس $y^{2}=(b)^{2}(1- \frac{x^{2}}{a^{2}})$ و با جایگذاری داریم:
$$p f'^{2} =x^{2}+c^{2}+2cx+b^{2}- \frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}} =(1- \frac{b^{2}}{a^{2}})x^{2}+2cx+ a^{2}=e^{2}x^{2}+2ae+a^{2}=(ex+a)^{2}$$
پس داریم:
$ p f'=ex+a $ و به طور مشابه $ p f=a-ex $
