شکل خاصی از فرمول سهمی در سهبعد مد نظرتان است؟
در حالت کلی من نیازی به استفادهٔ همیشه از فرمولها نمیبینم. در هر حالتی برای یافتن فاصلهٔ یک نقطه از یک خم پارامتری میتوانید به این نکته توجه کنید که این فاصله کمینه (مینیمم) تابع فاصلهٔ این نقطه از تمام نقاط خم مربوطه است. پس باید نقاط اکسترمم تابع فاصله (با دامنهٔ نقاط خم) را بیابید و سپس نقطهای که کمینهٔ مطلق میشود را جدا کنید. برای نمونه فرض کنید سهمی سهبعدیتان با دو برابریِ زیر تعریف شدهباشد (برای نمونه از بیضی سهبعدی که با دوبرابری تعریف شدهاست -اگر قبلا مواجهه نداشتید و حس تازگی برایتان دارد- میتوانید به این پست مراجعه کنید)؛
$$y=z+2,\;x=z^2$$
نقطهای که میخواهید فاصلهاش از این سهمی را محاسبه کنید $(x_A,y_A,z_A)$ در نظر بگیرید. تابع فاصله برابر میشود با؛
$$\sqrt{(z^2-x_A)^2+(z+2-y_A)^2+(z-z_A)^2}=:f(z)$$
(در حالتیکه بیشتر از یک پارامتر متغیر برای خم یا رویهتان دارید به جای مشتق از مشتقات جزئی استفاده کنید)
$$f'(z)=\frac{2z^3+(-2x_A+2)z+(-y_A-z_A-2)}{2\sqrt{(z^2-x_A)^2+(z+2-y_A)^2+(z-z_A)^2}}$$
برای نمونه اگر نقطهتان $(1,2,3)$ باشد، آنگاه ریشهٔ $2z^3-7=0$ که مربوط به صورت است را باید بررسی کنید و آن را در تابع فاصله جایگزین کنید که تقریبا برابر با $3.17$ میشود. چون تنها یک نقطه بود این مقدار کمینه است و فاصلهٔ نقطه از سهمی را بدست آوردیم.
