به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
43 بازدید
در دانشگاه توسط رضا عسکری

فرمول محاسبه فاصله یک نقطه از یک سهمی در فضای دو بعدی در همین سایت موجود است. من فاصله یک نقطه با مختصات مشخص از یک سهمی با معادله مشخص در فضای سه بعدی را میخواهم. به این معنی که فاصله یک نقطه مشخص از یک منحنی با معادله پارامتریک سه بعدی مد نظر است. در صورت امکان علاوه بر مقدار فاصله جهت آن نیز از خواسته های مسئله است. با تشکر فراوان

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein

شکل خاصی از فرمول سهمی در سه‌بعد مد نظرتان است؟

در حالت کلی من نیازی به استفادهٔ همیشه از فرمول‌ها نمی‌بینم. در هر حالتی برای یافتن فاصلهٔ یک نقطه از یک خم پارامتری می‌توانید به این نکته توجه کنید که این فاصله کمینه (مینیمم) تابع فاصلهٔ این نقطه از تمام نقاط خم مربوطه است. پس باید نقاط اکسترمم تابع فاصله (با دامنهٔ نقاط خم) را بیابید و سپس نقطه‌ای که کمینهٔ مطلق می‌شود را جدا کنید. برای نمونه فرض کنید سهمی سه‌بعدی‌تان با دو برابریِ زیر تعریف شده‌باشد (برای نمونه از بیضی سه‌بعدی که با دوبرابری تعریف شده‌است -اگر قبلا مواجهه نداشتید و حس تازگی برایتان دارد- می‌توانید به این پست مراجعه کنید)؛ $$y=z+2,\;x=z^2$$ نقطه‌ای که می‌خواهید فاصله‌اش از این سهمی را محاسبه کنید $(x_A,y_A,z_A)$ در نظر بگیرید. تابع فاصله برابر می‌شود با؛ $$\sqrt{(z^2-x_A)^2+(z+2-y_A)^2+(z-z_A)^2}=:f(z)$$ (در حالتیکه بیشتر از یک پارامتر متغیر برای خم یا رویه‌تان دارید به جای مشتق از مشتقات جزئی استفاده کنید) $$f'(z)=\frac{2z^3+(-2x_A+2)z+(-y_A-z_A-2)}{2\sqrt{(z^2-x_A)^2+(z+2-y_A)^2+(z-z_A)^2}}$$ برای نمونه اگر نقطه‌تان $(1,2,3)$ باشد، آنگاه ریشهٔ $2z^3-7=0$ که مربوط به صورت است را باید بررسی کنید و آن را در تابع فاصله جایگزین کنید که تقریبا برابر با $3.17$ می‌شود. چون تنها یک نقطه بود این مقدار کمینه است و فاصلهٔ نقطه از سهمی را بدست آوردیم.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...