اتحاد و تجزیه

Question

اگر داشته باشیم $$a^2+b^2=ab+2a+2b-4$$ آیا میتوان بصورت مستقیم و بدون جایگذاری نشان دهید که حاصل$$ \frac{ \sqrt[3]{2ab} }{ \sqrt[3]{a}- \sqrt[3]{b}+2 } $$ برابر است با مقدار 1.

(در جایگذاری کافی است بجای a و b هر کدام مقدار 2 را قرار دهیم تا شرایط مساله برقرار باشد)

Answer 1

طرفین فرض سوال را در 2 ضرب میکنیم:

$$2a^2+2b^2=2ab+4a+4b-8 \Rightarrow$$

$$<math> a^2+a^2+b^2+b^2=2ab+4a+4b+8 \Rightarrow$$

$$<math> a^2+b^2=-a^2+2ab-b^2+4a+4b-8 \Rightarrow$$

$$<math> 0=-(a-b)^2-a^2+4a-4-b^2+4b-4 \Rightarrow$$

$$<math>(a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2=0 $$

اما جمع چند عبارت نامنفی زمانی صفر میشود که هر کدام صفر باشند پس باید هر کدام از جملات بالا صفر باشد پس:

$$(a-b)^2=0 \Rightarrow a=b$$ $$(a-2)^2=0 \Rightarrow a=2$$ $$(b-2)^2=0 \Rightarrow b=2$$

Comments

خب این شد همون جایگذاری که

---

صورت مساله بد طرح کردم منظور بدون حدس زدن اینکه a , b هر دو چه مقداری هستند a,b را محاسبه کرده و حاصل را بدست آوریم.