بفرض $a+b+c=12$، آنگاه با کمک اتحاد اویلر بیشترین مقدار ممکن برای $ab+ac+bc$ را بیابید.

Question

اگر داشته باشیم $a+b+c=12$ آنگاه حداکثر مقدار ممکن برای $ab+ac+bc$ چقدر است؟ راهنمایی: از اتحاد اویلر که در زیر آمده‌است استفاده کنید.

$$(a+b+c)^2=\frac{1}{2}\big((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big)+3(ab+bc+ac)$$

Comments

منظورتون حداکثر مقدار $ab+ac+bc$ هست. جمله آخر رو نوشتید $ba$ لطفا ویرایش کنید.

Answer 1

با توجه به اتحاد فوق اگر $a,b,c$ را چنان انتخاب کنیم که:

$$P=(a-b)^{2}+ (b-c)^{2}+ (c-a)^{2}$$

کمترین مقدار حاصل شود آنگاه $\,\,ab+ac+bc\,\,$ بیشترین مقدار خواهد بود. چون $\,\,P \geq 0\,\,$ و اگر $\,\,a=b=c\,\,$ آن گاه $\,\,P=0\,\,$ پس کمترین مقدار $\,\,P\,\,$ زمانی حاصل می شود که $\,\,a=b=c\,\,$ از طرفی $\,\,a+b+c=12\,\,$ پس $a=b=c=4$ بنابراین جواب مسأله برابر است با:

$$ab+ac+bc=16+16+16=48$$