به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,178 بازدید
در دبیرستان توسط Neseli (336 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر داشته باشیم $a+b+c=12$ آنگاه حداکثر مقدار ممکن برای $ab+ac+bc $ چقدر است؟ راهنمایی: از اتحاد اویلر که در زیر آمده‌است استفاده کنید.

$$(a+b+c)^2=\frac{1}{2}\big((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big)+3(ab+bc+ac)$$
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+2
منظورتون حداکثر مقدار $ab+ac+bc$ هست. جمله آخر رو نوشتید $ba$ لطفا ویرایش کنید.

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط farhad (647 امتیاز)
انتخاب شده توسط Neseli
 
بهترین پاسخ

با توجه به اتحاد فوق اگر $a,b,c$ را چنان انتخاب کنیم که:

$$ P=(a-b)^{2}+ (b-c)^{2}+ (c-a)^{2} $$

کمترین مقدار حاصل شود آنگاه $ \,\,ab+ac+bc\,\, $ بیشترین مقدار خواهد بود. چون $\,\,P \geq 0\,\,$ و اگر $\,\,a=b=c\,\,$ آن گاه $\,\,P=0\,\,$ پس کمترین مقدار $\,\,P\,\,$ زمانی حاصل می شود که $\,\,a=b=c\,\,$ از طرفی $\,\,a+b+c=12\,\,$ پس $a=b=c=4$ بنابراین جواب مسأله برابر است با: $$ ab+ac+bc=16+16+16=48 $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...