اگر $ \alpha = \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2+ \sqrt{4} } } } $ آنگاه مقدار $\alpha^4$ را بیابید

Question

اگر $ \alpha = \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2+ \sqrt{4} } } } $ باشد.انگاه حاصل$ \alpha ^{4} $ چند است.

Answer 1

$$\alpha = \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2+ \sqrt{4} } } }=\alpha = \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2+ 2 } } }$$ $$= \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4 } } }= \sqrt{2+ \sqrt{3+2 } }=\sqrt{2+ \sqrt{5 } }$$ $$\alpha =\sqrt{2+ \sqrt{5 } } \Rightarrow \alpha^{2} =2+ \sqrt{5 } = \Rightarrow \alpha^{4} =(2+ \sqrt{5 })^{2} $$ $$ \Rightarrow \alpha^{4}=4+5+4 \sqrt{5 }=9+4 \sqrt{5 }$$