اتحاد چاق و لاغر$a^{n} +1=(a+1)( a^{n-1}- a^{n-2}+...-a+1) $

Question

چرا رابطه زیر تنها برای n های فرد جواب می دهد و اثبات آن چیست؟ $ a^{n} +1=(a+1)( a^{n-1}- a^{n-2}+...-a+1) $ تلاش من: تا آنجا که من تلاش کردم می توان این رابطه را با فرمول مجموع جملات یک دنباله هندسی با قدر نسبت a_ که در آن aیک عدد + است و n فرد اثبات کرد. اما این رابطه برای n های زوج در صورتی که a یک عدد منفی باشد جواب میدهد. لطفا راهنمایی کنید

Answer 1

اینکه برای $n$ فرد برقرار است از دو راه خیلی ساده و کوتاه ثابت می‌شود. یکی این است که خیلی ساده، پرانتز یکُم را در دومی ضرب کنید و بعد ساده کنید که چون یک جمع تلسکوپی می‌شود، حاصل برابر با جملهٔ یکُم منهای جملهٔ آخر می‌شود. $$\begin{array}{lll} (a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a+1) & = & a(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a+1) + \\ & & 1(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a+1) \\ & = & (a^n-a^{n-1}+a^{n-2}-\cdots-a^2+a) + \\ & & (a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots+a^2-a+1) \\ & = & a^n+1 \end{array}$$ یا اینکه توجه کنید که چون $n$ فرد است پس داریم $$a^n+1=1+a^n=1-(-a^n)=1-(-a)^n $$ اکنون از تعمیم اتحاد چاق ولاغر معمولی استفاده کنید: $$\begin{array}{lll} 1-(-a)^n & = & \Big(1-(-a)\Big)\Big(1+(-a)+(-a)^2+\cdots+(-a)^{n-2}+(-a)^{n-1}\Big) \\ & = & (1+a)(1-a+a^2-\cdots-a^{n-2}+a^{n-1}) \end{array}$$ اما اینکه چرا برای $n$ زوج برقرار نیست خیلی واضح است! توجه کنید که اگر $n$ زوج باشد آنگاه تعداد جملات در پرانتز دوم که برابر با توان‌های صفر، یک، دو، ...، تا $n-1$ اُمِ $a$ است و برابر با $n$تا می‌شود، عددی زوج می‌شود پس اگر علامت پشت جمله‌ها را یکی‌درمیان مثبت و منفی کنیم علامت جملهٔ اول و آخر یکی نخواهد شد، یعنی اگر پشت $a^{n-1}$ مثبت گذاشته‌اید دیگر پشت عدد یک در این پرانتز مثبت نخواهد بود و به جایش منفی می‌نشیند. در حالیکه در متن فرمول شما علامت پشت جملهٔ اول و آخر هر دو مثبت است! پس از همان ابتدای کار، فرمول شما فقط برای $n$های فرد نوشته می‌شود و اصلا برای $n$ زوج نمی‌تواند نوشته‌شود پس اصلا به مرحلهٔ چک کردن درستی یا نادرستی ‌اش نیز نمی‌رسد.

نظیرِ درست برای حالت $n$-ِ زوج برابر است با $$\begin{array}{lll} (a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a^2+a-1) & = & a(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a^2+a-1) + \\ & & 1(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a^2+a-1) \\ & = & (a^n-a^{n-1}+\cdots-a^3+a^2-a) + \\ & & (a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a^2+a-1) \\ & = & a^n-1 \end{array}$$ یعنی $$a^n-1=(a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots+a-1)$$

Answer 2

شما یک اشتباه تایپی دارین و اتحاد بصورت زیر درست است

$$a^n+1=(a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}-...+1)$$

برای اتحاد $Z=X.Y$ تمام ریشه های سمت راست باید همان ریشه های سمت چپ باشد

پس:

$$a+1=0 \Rightarrow a=-1$$

حال با جاگذاری این مقدار در سمت چپ اتحاد باید به جواب 0 برسیم تا اتحاد درست باشد

$$(-1)^n+1=0 \Rightarrow (-1)^n=-1$$

از زوج بودن n به تناقض میرسیم

$$1=-1$$

پس برای برقراری تساوی شرط فرد بودن n لازم است تا به تناقض نرسیم.

Comments

سلام
خیلی ممنون از اینکه من رو از اشتباهم آگاه کردید.
همچنین ممنون از اینکه به سوال من پاسخ دادید.اما دو بخش از سوال من مونده.اگه میشه به اون دو تا هم جواب بدید.

---

برای اثبات درست حدس زدین
و برای اثبات مثال آوردن کافی نیست ولی برای رد کردن مثال کفایت میکنه
به ابتدا و انتهای جمله دقت کنین و در رابطه با a فقط بر تاثیر آن بر علامت ها در صورتی تمرکز کنید که نتواند این تاثیر را انتقال دهد
اگر سوال دیگری هست واضحتر مطرح کنید تا بجای گمراه کردن راهنمایی کنیم
چون مسائل جای بحث فراوان دارند ولی هدف در ریاضیات یادگیری و کلیت هست
در مواردی تمرکز کنید که قابل تعمیم باشد چون حالات خاص فراوان هستند که عملا فقط در حد مسئله هستند و بعنوان اتحاد یا قضیه مطرح نمیشوند