قرار می دهیم
$$\alpha=\sup\big\{\mu(F): F\subset E, \mu(F)< \infty\big\} $$
توجه کنید که بنابر نیمه متناهی بودن اندازه $\mu$ مجموعه بالا مخالف تهی است و سوپریمم بالا وجود دارد.
حال کافی است ثابت کنیم $\alpha=\infty$(چرا؟)
اثبات $\alpha=\infty$:(برهان خلف) فرض کنیم $\alpha< \infty $ در اینصورت برای هر $ n\in\mathbb N $
مجموعه $F_n$ وجود دارد که:
$$\alpha-\frac 1n< \mu(F_n)< \infty$$
قرار می دهیم $F=\bigcup F_n$ . در اینصورت
$$\begin{align}
\mu(F)&=\mu(\bigcup_1^\infty F_n)\\
&\leq \sum_1^\infty \mu(F_n)\\
&=\sup\big\{\sum_{n\in I}\mu(F_n):I\subset \mathbb N, I\ motanahi\big\}
\end{align}$$
اما برای هر زیرمجموعه متناهی $I$ از $\mathbb N$ مجموع متناهی $ \sum_{n\in I}\mu(F_n) $ متناهی است زیرا هر $\mu(F_n)< \infty $ . بنابراین سوپریمم بالا هم متناهی است و لذا بنابر تعریف $\alpha$ داریم: $\mu(F)\leq \alpha$.
از طرفی داریم:
$$\forall n\in\mathbb N: \alpha-\frac 1n< \mu(F_n)\leq \mu(F)\leq \alpha$$
بنابراین $ \mu(F)=\alpha $ .
اما داریم:
$$\mu(F)+\mu(E \setminus F)=\mu(E)=\infty$$
چون $\mu(F)< \infty$ لذا $\mu(E\setminus F)=\infty$. پس بنابر تعریف نیمه متناهی بودن $\mu$ مجموعه ی $G\subset E\setminus F$موجود است به طوریکه $0< \mu(G)< \infty$در اینصورت برای مجموعه ی $G\cup F\subset E$ داریم:
$$\alpha< \underbrace{\mu(F)}_{\alpha}+\mu(G) =\mu(G\cup F)< \infty$$
که این با سوپریمم بودن $\alpha$ در تناقض است. پس ثابت کردیم که $\alpha=\infty$
