Question

اگر$n > 2$ باشد وعدد طبيعي باشد حاصل عبارت زير چيست؟

$[ \sqrt{4 n^{2} -3n+1} ]-2[ \sqrt{n(n-2)} ]$

Answer 1

می‌دانیم که برای $n>2$ رابطه $4n^2 -4n +1 < 4n^2 -3n +1 < 4n^2$ را داریم که همان $(2n-1)^2 < {(2n-1)^2+n} < 4n^2 $ می‌باشد که با جذر گرفتن از طرفین داریم $(2n-1) < \sqrt{(2n-1)^2+n} < 2n$؛ حال با جزء صحیح داریم که:

$ [ \sqrt{4n^2-3n+1} ]=[\sqrt{(2n-1)^2+n}]=2n-1$

هم‌چنین برای $n>2$ می‌دانیم $-2n+4<0$ برقرار است پس $n^2 -4n+4 < n^2 -2n < n^2-2n+1$ را داریم که همان $(n-2)^2 < n(n-2) < (n-1)^2$ می‌باشد که با جذر گرفتن از طرفین داریم $ n-2 < \sqrt{n(n-2)} < n-1 $؛ حال با جزء صحیح داریم که:

$[ \sqrt{n(n-2)} ] = n-2$

حال حاصل عبارت بالا برابر است با

$[ \sqrt{4n^2-3n+1} ] -2[ \sqrt{n(n-2)} ] = (2n-1)-2(n-2)=3 $

Comments

@wahedmohammadi
ممنون بابت پاسخ فقط چگونه اون نامساويس اولو پيدا كنيم وبعد ازش جذر بگيريم..ممنون

---

@sahar3
خواهش می‌کنم.
اثبات دو نامساوی خط اول:

می‌دانیم که $- 4n   <  -3n$ می‌باشد که با اضافه کردن $4n^2 +1$ به دو طرف نامساوی به $4n^2 -4n +1  < 4n^2 -3n +1$ می‌رسیم؛ همچنین چون $n>2$ می‌باشد پس $ -3n +1 < 0$؛ حال با اضافه کردن $4n^2 $ به طرفین رابطه $4n^2 -3n +1 < 4n^2$ بدست می‌آید.