کنکور 93 سوال 11: حاصل حد $\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} $

Question

حاصل حد $\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} $ کدام است؟

1. $ -\frac 32$
2. $ -\frac 34 $
3. $ -\frac 14$
4. $ \frac 32 $

Comments

فکر کنم از طریق هم ارزی و بسط تیلور تابع$cos $ جواب بدست بیاید

---

میشه این کارو کرد که تو صورت کسر یه کسینوس زیاد و یه کسینوس کم کنیم.بعد از هم
ارزی  کسینوس منهای یک که برابر منهای ایکس به توان دو تقسیم بر دو استفاده کنین.اون کسینوس منهای رادیکال کسنوس رو هم گویا و از همون هم ارزی استفاده کنین.اغلب تستای اینجوری به این شکل حل میشه.

Answer 1

استفاده ترکیبی از هوپیتال و هم ارزی( $ sin(U) \sim U $ ):

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2}& =^{هوپیتال} \lim_{x\to 0}\frac{-2sin(x).cos( x)- \frac{-sin(x)}{2\sqrt{\cos x}} }{2x} \\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-sin(2x)+ \frac{sin(x)}{2\sqrt{\cos x}} }{2x} \\ & =^{هم ارزی} \lim_{x\to 0}\frac{-2x+ \frac{x}{2\sqrt{\cos x}} }{2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-2+ \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} }{2} \\ &= \frac{-2+ \frac{1}{2} }{2} \\ &= \frac{-3}{4}\end{align}$$ یعنی گزینه ی $2$ جواب درست است.

Comments

ممنون بابت ویرایش، اینجوری زیباتره حواسم نبود زیر هم بنویسمش.
البته اگه میتونی فاصله ی بین عبارات رو زیاد کن چون مخرج یکی با صورت دیگری خیلی نزدیکند.ممنون

---

خواهش میکنم.
کدوم خط؟ برای من که درسته!

---

دوستان خیلی خوبه که سوال مطرح بشه ولی بنظرم بهتره سوالاتی در سایت گنجانده بشه که قبلا پاسخی براشون مطرح نشده. جواب سوالات کنکور سراسری در سایتهای مختلف پیدا میشه.

Answer 2

ياد آوري

$$\cos^{n}u \sim 1- \frac{ nu^{2} }{2} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ u \to 0$$

---

مثال

$$ \cos^{2}x \sim 1- \frac{2 x^{2} }{2} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ x \to 0$$ $$ \sqrt{\cos x } \sim 1- \frac{x^{2} }{4} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ x \to 0$$

---

حل سوال

$$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \cos^{2} x- \sqrt{\cos x} }{ x^{2} } &\sim \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1- \dfrac{2 x^{2} }{2}-(1- \dfrac{ x^{2} }{4} ) }{ x^{2} }\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-3 x^{2} }{4 x^{2} }\\ &= \frac{-3}{4} \end{align}$$

Answer 3

از داشته های ابتدایی بدون هم ارزی و هوپیتال میخواهیم حاصل حد زیر را حساب کنیم :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =? $$

---

بدون هم ارزی و هوپیتال ثابت میشود که :

$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$$ $$\lim_{x\to 1}\dfrac{1-x^n}{1-x}=n$$

$n$ میتواند گویا هم باشد .

---

حال سوال را بررسی میکنیم :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =\lim_{x\to 0}\dfrac{(\cos^2 x-1)+(1-\sqrt{\cos x})}{x^2} $$

حال دو حد زیر را با استفاده از حد های ذکر شده محاسبه میکنیم :

$$\lim_{x \to 0}(\dfrac{-(1-\cos^2 x)}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2})=-1$$ $$\lim_{x \to 0}(\dfrac{(1-\sqrt{\cos x})}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2})=\dfrac{1}{4}$$

مجموع این دو حد برابر است با حد مورد نظر بنابراین خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =\dfrac{-4}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{-3}{4} $$

Answer 4

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( cosx-1)(cos^{2}x+cos x+1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )}= $ $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( cos^{3}x-1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )}= $ $ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( -2sin^2 \frac{x}{2} )(cos^{2}x+cos x+1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )} $

$= \frac{1 \times (-2 )\times\frac{1}{4} \times 3 }{2}= \frac{-3}{4} $