اگر $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{xsinx}{a-cosbx} =1 $ در اینصورت $a+b=?$

Question

اگر $$ \lim_{x \to 0} \frac{xsinx}{a-cosbx} =1 $$

$a+b=?$

Answer 1

چون $\lim_{x\to 0} x\sin x=0$ و $ \lim_{x \to 0} \frac{x\sin x}{a-\cos bx} =1 $ لذا باید $\lim_{x\to 0}a-\cos bx=0$ باشد. لذا $\lim_{x\to 0}\cos bx=a$ پس $a=1$ .

از طرفی با استفاده از بسطهای مک لورن توابع $\sin x\sim x+\cdots$ و $1-\cos bx\sim 2\sin^2\frac {bx}2\sim \frac {b^2x^2}2+\cdots$ داریم:

$$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{x\sin x}{a-\cos bx} &=1\\ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\frac{b^2x^2}2}&=1\\ b^2&=2\end{align}$$ لذا $b=\pm\sqrt 2$ .

Answer 2