اثبات $ad=bc$
از اینکه $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ داریم $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}=k \neq 0$ پس $a=bk$ و $dk=c$ و با ضرب طرفین داریم $a \times dk=c \times bk$
حال با تقسیم طرفین بر $k$ رابطه $ad=bc$ بدست می آید.
اثبات$ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $
طرفین رابطه $ad=bc$ را ابتدا بر $c$ و سپس بر $ d $ تقسیم می کنیم(برای اینکه این رابطه برقرار باشد باید شرط $c \neq 0$ را داشته باشیم تا تقسیم طرفین بر این عدد مجاز باشد)
اثبات $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $
طرفین رابطه $ad=bc$ را ابتدا بر $b$ و سپس بر $ a $ تقسیم می کنیم(برای اینکه این رابطه برقرار باشد باید شرط $a \neq 0$ را داشته باشیم تا تقسیم طرفین بر این عدد مجازباشد)
اثبات $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $
طرفین رابطه $ad=bc$ را ابتدا بر $c$ و سپس بر $ a $ تقسیم می کنیم(برای اینکه این رابطه برقرار باشد باید شرط $c,a \neq 0$ را داشته باشیم تا تقسیم طرفین بر این اعداد مجاز باشد)
اثبات $ \frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d} $
به طرفین رابطه ی طرفین رابطه $ad=bc$ مقدار $\pm bd$ را اضافه میکنیم و سپس طرفین را بر $ b $و$ d $ تقسیم می کنیم.
اثبات $ \frac{a}{b \pm a} = \frac{c}{d \pm c} $
به طرفین رابطه ی طرفین رابطه $ad=bc$ مقدار $\pm ac$ را اضافه میکنیم داریم:
$$ad\pm ac=bc\pm ac \Rightarrow a(d\pm c)=c(b\pm a) $$
حال طرفین را بر $d\pm c $ و $ b\pm a $ تقسیم می کنیم.
اثبات $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $
ابتدا از رابطه $ \frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d} $ قسمت مثبت داریم $ \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} $ سپس طرفین را در $ \frac{1}{-2} $ ضرب میکنیم داریم
$ \frac{a + b}{-2b} = \frac{c + d}{-2d} $ حال رابطه ی $ \frac{a}{b \pm a} = \frac{c}{d \pm c} $ را در حالت مثبت به کار میبریم تا خکم نتیجه شود.
البته می توان از رابطه اول(طرفین و وسطین کردن هم به جواب رسید).
اثبات
$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Longrightarrow \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{a}{b}$
روش اول:چون $ \frac{a}{b} $ را می خواهیم در آخر این رابطه را هر بار با دو رابطه دیگر در نظر میگیریم و از رابطه اول(طرفین و وسطین کردن) که اثبات شد داریم:$ad=bc $و $af=be$ حال طرفین را با هم جمع کرده و به طرفین $ab$ را اضافه میکنیم داریم:
$$ ab+bc+be=ab+ad+af \Rightarrow b(a+c+e)=a(b+d+f)$$
کافیست طرفین را بر $ b+d+f $ و$ b $ تقسیم کنیم .
روش دوم: رابطه های $ \frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d} \ \ \ \ (1)$ و
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\ \ \ \ \ (2) $را استفاده میکنیم داریم :
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow ^{2} \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \rightarrow ^{1}\frac{a+c}{c} = \frac{b+d}{d} \rightarrow ^{2} $$
$$\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} =\frac{e}{f}\rightarrow ^{2} \frac{a+c}{e} = \frac{b+d}{f} \rightarrow ^{1}$$
$$\frac{a+c+e}{e} = \frac{b+d+f}{f} \rightarrow ^{2} \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{e}{f}=\frac{a}{b}$$
در جواب سوال دوم اگر در اثبات دقت کنید تمام مراحل دو طرفه است لذا عکس هم برقرار است(فقط اگر دقیق تر نگاه کنیم نباید حالت صفر در مخرج ظاهر شود) مثلا از $ a0=0c$ نمیشه نتیجه گرفت
$ \frac{a}{0} = \frac{c}{0} $
یا حتی چیزی که گفتید اگر $ \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ باشد کافیه همین قانون رو برای منفی پیاده کنیم تا $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ بدست آید.
