به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
65 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط 0arezoo
ویرایش شده توسط 0arezoo

شاخص مرکزساز xدر G کمترمساوی ازکاردینال زیرگروه مشتق Gمیباشد

مرجع: گروهای متناهی
توسط erfanm
شاخص یک عدده همچنین اندازه(کاردینال) پس چطور ممکنه زیرگروه باشند؟!!!!
توسط 0arezoo
+1
حق باشماست زیرگوه راباکمتر مساوی اشتباه گرفتم

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm
انتخاب شده توسط 0arezoo
 
بهترین پاسخ

طبق قضیه ی $Orbit-stabilizer$ داریم $ \mid G.x \mid =[G: G_{x} ]$ که در آن $G_{x}=\{g \in G : g.x=x \} $ و $G.x=\{g.x : g \in G \} $

حال اگر در قضیه بالا عمل را $g.x \longmapsto gx g^{-1} $ تعریف کنیم آنگاه $$G.x=\{g.x : g \in G \} =\{gx g^{-1} : g \in G \}$$و $$G_{x}=\{g \in G : g.x=x \}= \{g \in G : gx g^{-1}=x \}$$ $$=\{g \in G : gx =xg \}=C _{G}(x) $$ پس با قرار دادن در قضیه بالا تعداد کلاسهای مزدوجی متمایز $x$ یعنی $ gx g^{-1} $ برابر است با شاخص مرکز ساز $x$

اما از آنجایی که تناظر یک به یکی به صورت $ gx g^{-1} \longmapsto gx g^{-1}x^{-1} $ را می توان تعریف کرد و هر یک از $gx g^{-1}x^{-1}$ ها عنصری از زیرگروه مشتق هستند(لزوما تمام عناصر نیستند ) و متمایز بودن کلاسها متمایز بودن این عناصر را تضمین میکند(یعنی اگر $gx g^{-1}x^{-1}= g^{'} x {g^{'}}^{-1}x^{-1} $ آنگاه با حذف $ x^{-1}$ خواهیم داشت $ gx g^{-1}=g^{'} x {g^{'}}^{-1} $ و این تناقض است) لذا داریم:

$$ \mid G^{'} \mid \leq \mid G.x \mid =[G: G_{x} ]=[G: C _{G}(x) ]$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...