طبق قضیه ی $Orbit-stabilizer$ داریم $ \mid G.x \mid =[G: G_{x} ]$ که در آن $G_{x}=\{g \in G : g.x=x \} $ و $G.x=\{g.x : g \in G \} $
حال اگر در قضیه بالا عمل را $g.x \longmapsto gx g^{-1} $ تعریف کنیم آنگاه
$$G.x=\{g.x : g \in G \} =\{gx g^{-1} : g \in G \}$$و
$$G_{x}=\{g \in G : g.x=x \}= \{g \in G : gx g^{-1}=x \}$$
$$=\{g \in G : gx =xg \}=C _{G}(x) $$
پس با قرار دادن در قضیه بالا تعداد کلاسهای مزدوجی متمایز $x$ یعنی $ gx g^{-1} $ برابر است با شاخص مرکز ساز $x$
اما از آنجایی که تناظر یک به یکی به صورت $ gx g^{-1} \longmapsto gx g^{-1}x^{-1} $ را می توان تعریف کرد و هر یک از $gx g^{-1}x^{-1}$ ها عنصری از زیرگروه مشتق هستند(لزوما تمام عناصر نیستند ) و متمایز بودن کلاسها متمایز بودن این عناصر را تضمین میکند(یعنی اگر $gx g^{-1}x^{-1}= g^{'} x {g^{'}}^{-1}x^{-1} $ آنگاه با حذف $ x^{-1}$ خواهیم داشت $ gx g^{-1}=g^{'} x {g^{'}}^{-1} $ و این تناقض است) لذا داریم:
$$ \mid G^{'} \mid \leq \mid G.x \mid =[G: G_{x} ]=[G: C _{G}(x) ]$$
