$x=[x]+(x-[x])$ لذا $ \frac{x}{[x]} = \frac{[x]+(x-[x])}{[x]} =1+ \frac{x-[x]}{[x]} $
همچنین همواره داریم: $ 0 \leq x-[x] < 1$ لذا $ 0 \leq \frac{x-[x]}{[x]} < \frac{1}{[x]} < \frac{1}{x-1} $ پس $0 \leq \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x-[x]}{[x]} \leq \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{1}{x-1}=0$ یعنی:
$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x-[x]}{[x]}=0 $ پس داریم:
$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x}{[x]}=1+\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x-[x]}{[x]} =1+0=1$
