Question

اگر تابع$f$ پيوسته باشد و يك ضابطه اي باشد و $f'(x) \geq 0$ ثابت كنيد تابع$f$ اكيد صعوديه

اگر تابع$f$ پيوسته باشد و يك ضابطه اي باشد و $f'(x) \leq 0$ ثابت كنيد تابع$f$ اكيد نزولي

Answer 1

البته اگر $f'(x)\geq 0$ فقط میتونیم بگیم که تابع صعودی است نه اکیدا صعودی. مثلا $f(x)=1$ داریم $f'(x)=0\geq 0$ و فقط صعودی است نه اکیدا صعودی.

برای اثبات کافی است از قضیه مقدار میانگین برای مشتق استفاده کنیم.

فرض کنید $a< b$ ما می خواهیم نشان دهیم $f(a)\leq f(b)$ . بنابرقضه مقدار میانگین $c\in(a, b)$ موجود است که $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ بنابر فرض $f'(c)\geq 0$ پس باید $ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\geq 0 $ باشد. چون مخرج مثبت است باید صورت هم مثبت باشد و لذا حکم نتیجه می شود.

برای حالت نزولی به صورت مشابه ستدلال کنید.

Comments

@fardina
پس با تو جه به گفته شما :
$f'(x) > 0$  تابع اكيد صعوديه

$f'(x)   \geq   0$   تابع صعودي

$f'(x)  <  0$  تابع اكيد نزوليه

$f'(x)   \leq   0$  تابع نزوليه

حالا سوال :
$f(x)= x^{3} $

$f'(x)=2 x^{2}  \geq 0$

ميگويند اين تابع اكيد صعوديه !!!!!!!!!!!!!!!؟؟ چرا؟

---

حکم از این قرار است:
اگر $f:[a, b]\to\mathbb R$ پیوسته و در $(a, b)$ مشتقپذیر باشد در اینصورت:
1-  به ازای هر $x\in(a, b)$ داریم $f'(x)\geq 0$ اگر و تنها اگر $f$ صعودی است.
2-  به ازای هر $x\in(a, b)$ داریم $f'(x)\geq 0$ و $f'$ بر هیچ زیربازه از $(a, b)$ متحدا صفر نشود اگر و تنها اگر $f$ اکیدا صعودی است.
پس در هر حالت چنانچه $f'(x)\geq 0$ آن تابع صعودی است. حال در مثال $f(x)=1$ چون $f'(x)$ بر زیر بازه باز متحدا صفر می شود پس اکیدا صعودی نیست. در مثال شما $f(x)=x^3$ داریم $f'(x)=3x^2\geq 0$ پس تابع صعودی است ولی چون در هیچ زیربازه ی باز آن $f'$ متحدا صفر نمی شود(فقط در یک نقطه صفر می شود) پس اکیدا صعودی است.

---

با توجه به این قضیه چنانچه $f'(x)> 0$ در اینصورت چون $f'(x)\geq 0$ پس تابع $f$ صعودی است و چون $f'(x)> 0$ پس بر هیچ زیربازه ای متحدا صفر نمی شود(در واقع اصلا صفر نمی شود) پس اکیدا صعودی است.

---

@fardina
پس ي جمع بندي كامل كنيم اينطوري ميشه :

$f'(x) > 0$  تابع همواره اكيد صعوديه

$f'(x)   \geq   0$   تابع صعودي است اما ميتواند در شرايط خاص($f′$ بر هیچ زیربازه از$ (a,b) $متحدا صفر نشود) اكيد صودي شود

$f'(x)  <  0$  تابع  همواره اكيد نزوليه

$f'(x)   \leq   0$  تابع نزوليه اما ميتواند در شرايط خاص($f′$ بر هیچ زیربازه از $(a,b) $متحدا صفر نشود) اكيد نزولي شود