دلیل منفی بودن $a-Invariant$ از $K[ \triangle ]$

Question

فرض کنید $ \triangle $یک مجتمع سادکی باشد. در این صورت داریم $ H_{K[ \triangle ]} (t)= \frac{ \sum_a^b x_{i} t^{i} }{ (1-t)^{d} } $ که مجموع از صفر تا $s$ است.و $d $ بعد $ \triangle $ میباشد.سوال این است که چرا $s \preceq d$؟

Answer 1

فرض کنید $ \triangle $یک مجتمع سادکی باشد. در این صورت داریم $ H_{K[ \triangle ]} (t)= \frac{ \sum_{i=0}^s x_{i} t^{i} }{ (1-t)^{d} } $ که در آن $ h_{s} \neq 0$ از طرف دیگر از اینکه بعد مجتمع برابر است با $d $ طبق فرمول کتاب داریم $ H_{K[ \triangle ]} (t)= \frac{ \sum_{i=0}^d x_{i} t^{i} }{ (1-t)^{d} } $

اگر $ h_{d} \neq 0$ آنگاه $ s=d $ در غیر اینصورت $ s < d $ پس در هر حالت همواره $ s \leq d $ و لذا $s-d \leq 0 $ ($s-d$ همان تعریف $a-Invariant$ است.)