ایدهآل توریک $P$از $K[{ K}_{m,n}]$ توسط همهی -2کهادهای یک ماتریس کلی$m\times n$تولید میشود.

Question

گزاره: فرض کنیم ‎$K$‎ یک میدان و ‎${ K}_{m,n}$‎ گراف دو بخشی کامل با مجموعه‌ی رئوس $V=\{x_1,\cdots,x_m,y_1,\cdots,y_n\}$ باشد. در این صورت، ایده‌آل توریک ‎$P$‎ از $K[{ K}_{m,n}]$ توسط همه‌ی ‎-2‎کهادهای یک ماتریس کلی ‎$ m\times n $‎ تولید می‌شود.

گزاره 9.1.2 از کتاب Monomial Algebras . در اثبات این گزاره در قسمت آخر چرا ‎ ؟ $ {\rm ht}(P)=(mn)-(m+n-1)$‎

و ‎$ I_{2}(X) $ که توسط 2-کهادهای ماتریس کلی ‎$ m\times n $‎ تولید میشودچرا یک ایده‌آل اول است؟

Comments

این مقاله‌ای که گفتید دانلود نمیشه. میشه لطف کنید خودتون علت اول بودنشو توضیح دهید. ممنون.

---

@if185
شما باید با @erfanm ایشون رو از دیدگاهتون مطلع کنید. در غیر اینصورت چطوری خبر دار بشه؟ در ضمن باید زیر پاسخش دیدگاه میذاشتید که دیگه نیازی به @ هم نبود!

Answer 1

برای حلقه ی $ R $ و ایده آل $J $ از آن داریم: $$dim( \frac{R}{J} ) =dim(R)-ht(J) $$ دراین سوال طبق قضیه اول یکریختی داریم:$ \frac{A}{ker( \psi )} \cong K[{ K}_{m,n}] $ پس $ dim( \frac{A}{P} ) =dim (K[{ K}_{m,n}] )=m+n-1$ لذا اگر رابطه ی بالا را برای $ P= ker( \psi )$ بنویسیم خواهیم داشت: $$dim( \frac{A}{P} ) =dim(A)-ht(P) \Rightarrow ht(P)=dim(A)-dim( \frac{A}{P} ) =mn-(m+n-1)$$

برای دیدن اینکه چرا ایده الی اول است می توانید به مقاله ی $On \ certain \ \ polynomial \ \ ideals \ \ defined \ \ by \ \ matrices$ نوشته ی$Sharpe$ مراجعه کنید.

Comments

این مقاله‌ای که گفتید دانلود نمیشه. میشه لطف کنید خودتون علت اول بودنشو توضیح بدید. ممنون