اولا در مرحله اول تحلیل خطی داشتن ، $ e_{i} $ ها را به مولدها نظیر میکنیم در اینجا
$ e_{1} \longmapsto g_{1} $ و $ e_{2} \longmapsto g_{2} $ و طبق آنچه گفته شده $ x_{1} ... x_{m}e_{1}- y_{1} ... y_{n} e_{2} $ عضوی از هسته است چون $ \varphi ( x_{1} ... x_{m}e_{1}- y_{1} ... y_{n} e_{2})=x_{1} ... x_{m}g_{1}- y_{1} ... y_{n} g_{2}=0 $ اما برای اینکه تحلیل، خطی باشد باید هر بار یک درجه بالا برود یعنی مینیمال مولدهای $ ker( \varphi ) $ رابطه های خطی با ضرایب متغییری مانند $ x_{r} e_{i}- x_{s} e_{j} $ باشند. پس این عنصر نباید مینیمال مولد باشد پس بصورت ترکیب خطی از آن مینیمال مولدهای با ضریب متغییر قابل نوشتن است(چون ما مولدهای مینیمال را به این صورت فرض می کنیم)
از آنجایی که در ترکیب خطی باید $ e_{1}$ راداشته باشیم و عناصر هسته را به صورت $x_{r} e_{i}- x_{s} e_{j}$ فرض کرده ایم پس میتوان نوشت
$ x_{1} ... x_{m}e_{1}- y_{1} ... y_{n} e_{2}=M(u e_{}- v e_{k})+...$
که در آن $v $و$ u$ متغییر هستند اما ضریب $e_{1}$ برابر
$ x_{1} ... x_{m}$ از چپ و برابر $ Mu $ است پس ناچارا متغییر $ u $ به صورت $ x_{i} $ است. حال از اینکه $u e_{}- v e_{k}$
عضوی از $ ker( \varphi ) $ است ثابت میکند که باید $v=y_{j}$ باشد و نشان میدهد همین عنصر جواب مساله است.
اگر جای دیگری هم مشکل دارید در یک دیدگاه بفرمایید.
