مدول‌های کوهن مکالی دنباله‌ای

Question

یک مثال برای مدول‌های کوهن مکالی دنباله‌ای که کوهن مکالی نباشد، ارائه دهید؟

(تعریف 1.1 مقاله ضمیمه شده را ببینید)

Comments

مدول کوهن-مکوآلی را می‌شناسم ولی نمی‌دانم منظورتان از «مدول کوهن-مکوآلی دنباله‌ای» چیست، می‌شود اشاره‌ای داشته باشید.

---

@AmirHosein
در واقع مدول‌های کوهن-مکالی دنباله‌ای (SCM) رده بزرگ‌تری از مدول‌های کوهن -مکالی (CM) هستند. با توجه به تعریف 1.1 مقاله پیوست شده هر مدول CM یک مدول SCM است. همیشه دوستداران ریاضی به این جور مسائلی علاقه‌مند بودند مثلا ما ایده‌آل‌های اول رو میشناسیم بالاتر از این رده از ایده‌آل‌ها، میشه ایده‌آل‌های اولیه (Primary Ideals). ظاهرا یک رده بزرگ‌تر از مدول‍های کوهن مکالی دنباله‌ای نیز معرفی شده است.

Answer 1

حلقه چندجمله‌ای $S=K[ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]$ و ایده‌آل $I = \big( x_{1} x_{2} , x_{2} x_{3} , x_{3} x_{1} , x_{1} x_{4} \big)$ رو در نظر بگیرید. $I$ ایده‌آل یالی یک مثلث با یال $x_{1} x_{4}$ است (که بهش می‌گیم مثلث با یک ویسکر $x_{1} x_{4}$) می‌دانیم هر گراف وتری، کوهن مکالی دنباله‌ای است (مقاله SEQUENTIALLY COHEN-MACAULAY EDGE IDEALS از C. A. FRANCISCO, A. VAN TUYL را ببینید). چون گراف این مثال، یک گراف وتری می‌باشد پس یک گراف کوهن مکالی دنباله‌ای است. از طرفی یک گراف کوهن مکالی دنباله‌ای، کوهن مکالی است اگر و تنها اگر نامخلوط باشد. چون این گراف مذکور در مثال نامخلوط نیست (پوشش‌های راسی مینیمال آن از یک اندازه نیست)، پس این گراف کوهن مکالی نیست.