تنها ایدهآلهای یک میدان ایدهآل صفر و خود میدان است. چون مثلا اگر $ I $ ایدهآلی از میدان و مخالف صفر باشد آنگاه عنصری مانند $ a \neq 0 $ دارد که دارای وارون است و این بدان معنی است که $ 1 \in I $ پس $ I $ همان میدان خواهد بود.
از طرف دیگر با توجه به تعریف ایدهآل اول چون باید سره باشد تنها ایدهآل اول ممکن برای میدان فقط ایدهآل صفر است که از آنجایی که میدان قلمرو صحیح نیز است پس ایدهآل صفر، ایدهآلی اول است.
حال کافیست تعریف بُعد را که براساس طول زنجیر ایدهآلهای اول است را بکار ببریم و چون طول صفر است لذا بعد نیز صفر است.
در جبر جابجایی داریم $dim(R[ x_{1} ,... x_{n} ])=dim(R)+n $ پس در اینجا با توجه به قسمت اول $dim(K[ x_{1} ,... x_{n} ])=dim(K)+n=n $ و به راحتی ثابت میشود که $x_{1} ,... x_{n} $ یک رشتهٔ منظم هستند یعنی
$n \leq depth(K[ x_{1} ,... x_{n} ])$ پس داریم:
$$n \leq depth(K[ x_{1} ,... x_{n} ]) \leq dim(K[ x_{1} ,... x_{n} ])=n$$
پس $depth(K[ x_{1} ,... x_{n} ]) =dim(K[ x_{1} ,... x_{n} ])$.
