به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
78 بازدید
در دبیرستان توسط

آسانسوری در یک ساختمان 10 طبقه دارای 4 مسافر است. مسافران به چند طریق می توانند پیاده شوند به طوریکه: الف ) در هر طبقه حداکثر یک نفر پیاده شود. ب ) در هر طبقه حداکثر 2 نفر پیاده شود.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

0 امتیاز
توسط erfanm

روش اول : تعریف می کنیم $ x_{i} $ برابر تعداد افرادی باشد که در طبقه $ i $ام خارج می شود. چون 4 مسافر داریم پس مسئله تعداد جوابهای صحیح و نامنفی معادله $ x_{1} +...+ x_{10} =4 $ است.

در حالت الف شرط $ x_{i} \leq 1 $ و در حالت ب شرط $x_{i} \leq 2 $ را بر مساله اعمال میکنیم.

روش دوم:الف) باید از بین 10 طبقه 4 طبقه را انتخاب کنیم تا 4 مسافر در این طبقات پیاده شوند چون ترتیب هم مهم است لذا تعداد حالات برابر است با $p(10,4)= \frac{10!}{6!} $

ب) یعنی:مسافران در طبقات متمایز پیاده شوند یا دو نفر در یک طبقه و دونفر متمایز یا دونفر در یک طبقه و دو نفر دیگر هم در یک طبقه

هر حالت را حساب میکنیم چون «یا» داریم حالات را جمع می کنیم.

مسافران در طبقات متمایز پیاده شوند: همان الف است لذا برابر است با $p(10,4)= \frac{10!}{6!}=5040 $

دو نفر در یک طبقه و دونفر متمایز : پس 3 طبقه را انتخاب میکنیم از بین 10 طبقه سپس از بین این 3 یک طبقه را برای اینکه دو نفر در آن طبقه پیاده شوند در نظر میگیریم و سپس از بین 4 نفر 2 نفر را انتخاب میکنیم که در این طبقه پیاده شوند سپس از بین 2 نفر باقیمانده 1 نفر را برای طبقه دیگر انتخاب میکنیم پس در کل داریم: ${10\choose 3}{3\choose 1}{4\choose 2}{2\choose 1}=120 \times 3 \times 6 \times 2=4320$

دونفر در یک طبقه و دو نفر دیگر هم در یک طبقه: از بین 10 طبقه 2 طبقه را انتخاب میکنیم سپس از بین این دو طبقه یکی را انتخاب میکنیم و برای این طبقه از بین 4 نفر دو نفر را انتخاب میکنیم پس در کل داریم: $ {10\choose 2}{2\choose 1}{4\choose 2}=45 \times 2 \times 6=540 $

پس تعداد کل حالات برابر است با: $540+4320+5040$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...