فرض کنید $X, Y$ دو مجموعه ناتهی باشند. در اینصورت رابطه $f:X\to Y$ از $X$ به $Y$ را یک تابع گویند هرگاه به ازای هر $x\in X$ یک $y\in Y$ منحصفر به فرد موجود باشد که $(x, y)\in f$ که این $y$ را با $f(x)$ نمایش می دهیم.
به عبارت دیگر
اولا دامنه $f$ برابر $X$ باشد یعنی به ازای هر $x\in X$ یک $y\in Y$ موجود باشد که $(x, y)\in f$
ثانیا این $y$ منحصر به فرد باشد یعنی اگر $x_1=x_2$ آنگاه $f(x_1)=f(x_2)$ یا به عبارت دیگر اگر $(x, y)\in f$ و $(x, z)\in f$ آنگاه $y=z$.
که به این شرایط خوش تعریفی گفته می شود.
در سوال شما کافی است ما ثابت کنیم چنانچه $f,g$ تابع باشند در اینصورت $f\circ g$ هم تابع است.
بنابر تعریف می دانیم که چنانچه $g:X\to Y$ و $f:Y\to Z$ در اینصورت
$$f\circ g= \lbrace (x, z)\in X\times Z\mid \exists y\in Y\ s.t.\ (x,y)\in g \wedge (y,z)\in f\rbrace $$
با فرض تابع بودن $f$ و $g$ خوش تعریفی $f\circ g$ را بررسی میکنیم.
به ازای هر $x\in X$ چون $g:X\to Y$ تابع است پس حتما $y\in Y$ موجود است که $(x,y)\in g$ . چون $y\in Y$ و $f:Y\to Z$ تابع است پس $z\in Z$ موجود است که $(y,z)\in f$ . پس $ (x,y)\in g \wedge (y,z)\in f $ که بنابرتعریف $f\circ g$ داریم $(x,z)\in f\circ g$ یعنی شرط اول خوشتعریفی برقرار است.
حال فرض کنیم $(x,z_1),(x,z_2)\in f\circ g$ در اینصورت بنابرتعریف چون $(x,z_1)\in f\circ g$ پس $y_1\in Y$ موجود است که $(x, y_1)\in g, (y_1, z_1)\in f$ .
و چون $(x, z_2)\in f\circ g$ پس $y_2\in Y$ موجود است که $ (x, y_2)\in g, (y_2, z_2)\in f $ .
بنابراین $(x, y_1),(x,y_2)\in g$ و $g$ تابع است لذا $y_=y_2$ .
از طرفی $(y_1, z_1),(y_2, z_2)\in f$ و $f$ تابع است و $y_1=y_2$ لذا $z_1=z_2$
یعنی شرط دوم خوشتعریفی برقرار است و لذا $f\circ g$ تابع است.
به طور مشابه اگر $f,g,h$ تابع باشند در اینصورت $f\circ g\circ h$ نیز تابع است زیرا بنابر آنچه در بالا گفته شد $G=g\circ h$ تابع است و لذا $f\circ g\circ h=f\circ G$ تابع است.
