Question

انتگرال معین $\int_1^2\sqrt{9t^2+4t^2+1}{\rm d}t$ را محاسبه کنید.

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری ننوشته‌است.

Comments

@Mathman تلاش خود را اشاره کنید، اصلا شروع به استفاده از تقریب بوسیلهٔ جمع ریمان یا استفاده از روش‌های دیگر همچون سیمپسون یا رونگه-گوتا یا هر چیز دیگری کرده‌اید؟ چه چیزی از این پرسش برایتان سخت است؟

Answer 1

به احتمال بسیار زیاد جملهٔ دوم‌تان توان ۱ داشته‌است که به اشتباه ۲ تایپ کرده‌اید. به هر حال چند راه پیش روی شما است.

1. به کار گیری روش‌های انتگرال‌گیری عددی همچون تقریب بوسیلهٔ جمع ریمان، روش ذوزنقه‌ای، سیمپسون، رونگه‌گوتا و غیره.
2. استفاده از فرمول‌های دقیق.

خیلی راحت با یک جستجوی سریع در کتاب‌هایی که فرمول‌های انتگرال‌گیری (تابع‌اولیه‌ها) را دارند یا حتی اینترنت می‌توانید فرمولی برای انتگرال نامعین‌ مربوطه‌تان بیابید. برای نمون در پیوند زیر کافی است دو گزینهٔ ۶ و ۱ را با هم بیامیزید تا یک فرمول برای شکل انتگرال‌تان بیابید. http://www.sosmath.com/tables/integral/integ15/integ15.html

نرم‌افزار Mathematica نیز یک فرمول مشابه به شما می‌دهد که از لگاریتم به جای $\arcsin$ یا $\sinh^{-1}$ استفاده می‌کند.

Integrate[Sqrt[a*x^2+b*x+c],x]

$$\begin{align} \int\sqrt{ax^2+bx+c}{\rm d}x =& \frac{2ax+b}{4a}\sqrt{ax^2+bx+c}\\ & -\frac{b^2-4ac}{8a}\frac{1}{\sqrt{a}}\ln(b+2ax+2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+c}) \end{align}$$

اکنون کافی‌است $F(2)-F(1)$ که منظور از $F$ تابع‌‌اولیه (پادمشتق) بالا است.