Question

پیوستگی تابع $f(x)=[1-x^2]$ (نماد جز صحیح)را در بازه $[-1,1]$ بررسی کنید

Answer 1

روش اول :

اگر در رسم نمودار تبحر دارید برای سوالات تستی مخصوصا رسم نمودار میتونه خیلی کمک کنه. ابتدا نمودار را رسم می کنیم و روی هر نقطه صحیح یک خط موازی محور $x$ ها رسم میکنیم و قسمتی از نمودار را که بین دو خط قرار دارد بر خط پایینی تصویر می کنیم برای این سوال داریم:

در نتیجه به شکل زیر می رسیم:

که با توجه به شکل در نقطه $x=0$ مقدار تابع $1$ اما حد صفر است لذا پیوسته نیست اما در بقیه نقاط در بازه $[-1,1]$ پیوسته است. در نقطه $x=-1$ از راست تابع تعریف می شود که در این نقطه مقدار تابع با حد هردو برابر $0$ هستند و در $x=1$به طور مشابه است.

روش دوم: تابع جز صحیح معمولا در نقاطی که داخل جز صحیح ، صحیح باشد پیوسته نیست و در بقیه نقاط پیوسته است پس با پیدا کردن نقاطی که داخل جز صحیح، صحیح می شود نقاط محتمل برای ناپیوستگی را بدست می آوریم و کافیه پیوستگی در آن نقاط را بررسی کنیم.

اولا

$$-1 \leq x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1 \Rightarrow -1 \leq -x^{2} \leq 0 \Rightarrow 0 \leq 1-x^{2} \leq 1$$

پس فقط دو حالت داریم:

1) $1-x^{2} =1 \Rightarrow x^{2}=0 \Rightarrow x=0$ که با بررسی این نقطه مقدار تابع $1$ اما حد صفر است لذا پیوسته نیست

2)$1-x^{2} =0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x= \overline{+} 1$ که این نقاط نقاط انتهایی هستند . به راحتی دیده می شود که تابع پیوسته است.

اگر باز سوالی داشتید در یک دیدگاه بفرمایید .

Answer 2

بنظر اين تابع دركل بازه غير از صفر پيوسته باشد. با رسم شكل يا استفاده از تعريف پيوستگى در بازه و نقاط انتهايى بازه، مثلا در نقطه ١ بايد ازچپ پيوسته باشد $f(1)= 0$ و $\lim_{x \rightarrow 1^-}[1-x^2]=0$

Comments

ابن تابع در نقطه صفر پیوسته نمی باشد! کجاش به نظر تابع پیوسته می باشد!؟

---

@mehdi
لطفا ادب را رعایت فرمایید ایشون زحمت کشیده اند و جوابی که بنظرشون درسته را برای سوال نوشته اند.
هرکسی ممکنه اشتباه کنه
خود اینکه تلاش کرده اند به دیگران کمک کنند جای تقدیر دارد.

مثلا میتونستین بفرمایید:
ممنون بابت پاسخ، البته تابع در صفر ناپیوسته است.

---

ضمن تشكر از جناب عرفان،
آقاى مهدى به قول معروف : لقمان را گفتند ادب از كه آموختى گفت بى ادبان....