Question

غربال 1 تا350 را انجام دادیم.عدد 323 چندمین عددی است که خط میخورد؟

لطفا سریع پاسخ دهید.

Answer 1

از آنجایی که $323=17×19$ و ابتدا مضارب اعداد اول کمتر از $17$ خط میخورند پس ابتدا آنها را حساب میکنیم

مضارب عدد 2 اول حذف میشود که تعداد آنها برابر است با $[\frac{350}{2}]$ ولی خود 2 خط نمی خورد پس تعداد انها برابر است با $[\frac{350}{2}]-1=174$

سپس مضارب 3 حذف می شوند اما اعدادی مانند 6 و 12 و... قبلا خط خورده اند لذا باید این اعداد را که مضرب 6 هستند را جدا کنیم. پس تعداد این اعداد برابر است با $[ \frac{350}{3}]-1=115$ منهای مضارب 6 یعنی تعداد $[ \frac{350}{6}]=58$ که برابر می شود با $57$

حال مضارب 5 که مضرب 2 یا 3 و یا هر دو نباشند پس باید در تجزیه انها عدد 2 یا 3 وجود نباشد لذا کمترین عدد اول ظاهر شده در آنها برابر 5 است. این اعداد برابر هستند 5 ضربدر تمام اعداد اول کوچکتر از $\frac{350}{5}=70$ غیر از 2 و 3 و $25$ ضربدر تمام اعداد اول کوچکتر از $\frac{350}{25}=14$غیر از 2 و 3 همراه $5 \times 49$ که تعداد آنها برابر است با $17+4+1=22$

حال مضارب 7 که مضرب 2 یا 3 یا 5 نباشند پس باید در تجزیه انها عدد 2 یا 3 یا 5 وجود نباشد لذا کمترین عدد اول ظاهر شده در آنها برابر 7 است. این اعداد برابر هستند 7 ضربدر تمام اعداد اول کوچکتر از $\frac{350}{7}=50$ غیر از 2 و 3 و5 و $49$ ضربدر تمام اعداد اول کوچکتر از $\frac{350}{49}=7.1$ غیر از 2 و 3 و5 که تعداد آنها برابر است با $12+1=13$

حال مضارب 11 که مضرب 2 یا 3 یا 5 یا 7 نباشند پس باید در تجزیه انها عدد 2 یا 3 یا 5 یا 7وجود نباشد لذا کمترین عدد اول ظاهر شده در آنها برابر 11 است. این اعداد برابر هستند 11 ضربدر تمام اعداد اول کوچکتر از $\frac{350}{11}=31.8$ غیر از 2 و 3 و5 و7 که تعداد آنها برابر است با $7$

حال مضارب 13 که مضرب 2 یا 3 یا 5 یا 7 یا 11 نباشند پس باید در تجزیه انها عدد 2 یا 3 یا 5 یا 7 یا 11وجود نباشد لذا کمترین عدد اول ظاهر شده در آنها برابر 13 است. این اعداد برابر هستند 13 ضربدر تمام اعداد اول کوچکتر از $\frac{350}{13}=26.9$ غیر از 2 و 3 و5 و7 و11که تعداد آنها برابر است با $4$

و در نهایت ابتدا $17 \times 17$ حذف می شود تا نوبت به عدد ما برسد خود عدد 1 هم که در اولین گام حذف می شود. پس تا قبل از آن $1+4+7+13+22+57+174=278$ عدد حذف می شوند و 279 امین عدد عدد مورد نظر حذف می شود.

امکان دارد روش ساده تری وجود داشته باشد اما این روشی است که در اولین نگاه به سوال به ذهن بنده رسید.

Comments

مطلب بسیار مفید است اما نحوه نگارش آن منجر به مبهم شدن توضیح مطلب شده است.

---

میشه لطفا بهتر توضیح بدید . خواهشا سریع فردا امتحان دارم و این سوال منم هست .

Answer 2

می دانیم$323=17\times19$یعنی $323$برابر $19$مین مضرب$17$است. این یعنی باید مضارب اعداد اول $2,3,5,7,11,13,17$را خط بزنیم. اولین عدد خط خورنده $1$ است . بعد از آن مضرب زوج $2$ غیر از خودش است که برابر

$$\frac{350-2}{2} =174$$ عدد زوج است. حال نوبت مضارب $3$ است که خط نخورده است. و اخرین مضرب $3$برابر $116$است یعنی$3\times116=348$ اما مضاربی از $3$ که باید خط بخورند مضارب اعداد اول بزرگتر یا مساوی $3$ تا $116$ هستند که $30$ عدد اول داریم. پس $30$ مضرب $3$تازه خط خوردند که با $2$ خط نخورده بودند. حال نوبت مضارب $5$ می رسد که قبلا خط نخوردند.$350=5\times70$ مضارب اعداد اول بزرگتر مساوی از $5$تا $70$ الان خط می خورند که $17$ عدد اول است.

حال مضارب اعداد اول $7$که مضارب اعداد اول از $7$تا$50$را باید حساب کنیم که $12$ مضرب است.

حال مضارب $11$که مضارب اعداد اول از $11$تا $31$ یعنی$7$عدد

حال مضرب$13$ که مضارب اعداد اول از $13$تا$26$یعنی$4$عدد است.

و در نهایت مضرب $17$که دو عدد است و در مجموع

$$174+30+17+12+7+4+2=246$$ عدد خط می خورد