به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
5,286 بازدید
در دانشگاه توسط

ثابت کنید هر معادله با درجه فرد حتما یک ریشه حقیقی دارد.

توسط Reza.S (862 امتیاز)
+3
حد  +و- بینهایت درجه فرد همان +و- هست پس حتما  تابع از صفر رد شده است .
توسط
+2
چرا ج نمیدید؟
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
+2
کاربر گرامی این سایت به منظور کمک به درک ریاضی مهیا شده نه مسابقه دادن و یا فهمیدن اینکه کی سوالی رو بلده کی بلد نیست.

کاربران گرامی دیگه هر وقت بتوانند جواب سوالات رو می نویسند.
اکثر کاربران مشغول تحصیل هستند و بدون هیچ چشم داشتی در وقتهایی که بتوانند جواب سوالات را ارسال می نمایند.

لطفا شما هم شکیبا باشید.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)

طبق قضیه اساسی جبر هر چند جمله ای از درجه $n $ در $ C $ دارای $n $ ریشه است.

فرض کنید $p(x)= a_{2k+1} x^{2k+1} + a_{2k} x^{2k} +...+ a_{0} $ چند جمله ای دلخواه از درجه فرد باشد و $ z_{1} $ یک ریشه آن باشد . اگر حقیقی باشد باشد حکم برقرار است لذا فرض کنید مختلط باشد نشان می دهیم $ \overline{ z_{1}} $ هم یک ریشه است.

$$p(x)= \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} x^{i} $$ لذا $$p( \overline{ z_{1}})= \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} \overline{ z_{1}}^{i} = \sum_{i=1}^{2n+1} \overline{a_{i}} \overline{ z_{1}}^{i}= \sum_{i=1}^{2n+1} \overline{ a_{i} x^{i}} $$ $$ = \overline{ \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} x^{i}} = \overline{p(z_{1})}=0 $$

پس اگر $ z_{1} $غیر حقیقی ریشه باشد آنگاه مزدوج آن نیز ریشه است پس تعداد ریشه های غیر حقیقی همیشه زوج است اما ما به تعداد فرد ریشه داریم لذا یکی از آنها حقیقی است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...