طبق قضیه اساسی جبر هر چند جمله ای از درجه $n $ در $ C $ دارای
$n $ ریشه است.
فرض کنید $p(x)= a_{2k+1} x^{2k+1} + a_{2k} x^{2k} +...+ a_{0} $ چند جمله ای دلخواه از درجه فرد باشد و $ z_{1} $ یک ریشه آن باشد .
اگر حقیقی باشد باشد حکم برقرار است لذا فرض کنید مختلط باشد نشان می دهیم $ \overline{ z_{1}} $ هم یک ریشه است.
$$p(x)= \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} x^{i} $$
لذا
$$p( \overline{ z_{1}})= \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} \overline{ z_{1}}^{i} = \sum_{i=1}^{2n+1} \overline{a_{i}} \overline{ z_{1}}^{i}= \sum_{i=1}^{2n+1} \overline{ a_{i} x^{i}} $$
$$ = \overline{ \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} x^{i}} = \overline{p(z_{1})}=0 $$
پس اگر $ z_{1} $غیر حقیقی ریشه باشد آنگاه مزدوج آن نیز ریشه است پس تعداد ریشه های غیر حقیقی همیشه زوج است اما ما به تعداد فرد ریشه داریم لذا یکی از آنها حقیقی است.
