Question

ثابت کنید هر معادله با درجه فرد حتما یک ریشه حقیقی دارد.

Comments

حد  +و- بینهایت درجه فرد همان +و- هست پس حتما  تابع از صفر رد شده است .

---

چرا ج نمیدید؟

---

کاربر گرامی این سایت به منظور کمک به درک ریاضی مهیا شده نه مسابقه دادن و یا فهمیدن اینکه کی سوالی رو بلده کی بلد نیست.

کاربران گرامی دیگه هر وقت بتوانند جواب سوالات رو می نویسند.
اکثر کاربران مشغول تحصیل هستند و بدون هیچ چشم داشتی در وقتهایی که بتوانند جواب سوالات را ارسال می نمایند.

لطفا شما هم شکیبا باشید.

Answer 1

طبق قضیه اساسی جبر هر چند جمله ای از درجه $n$ در $C$ دارای $n$ ریشه است.

فرض کنید $p(x)= a_{2k+1} x^{2k+1} + a_{2k} x^{2k} +...+ a_{0}$ چند جمله ای دلخواه از درجه فرد باشد و $z_{1}$ یک ریشه آن باشد . اگر حقیقی باشد باشد حکم برقرار است لذا فرض کنید مختلط باشد نشان می دهیم $\overline{ z_{1}}$ هم یک ریشه است.

$$p(x)= \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} x^{i}$$ لذا $$p( \overline{ z_{1}})= \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} \overline{ z_{1}}^{i} = \sum_{i=1}^{2n+1} \overline{a_{i}} \overline{ z_{1}}^{i}= \sum_{i=1}^{2n+1} \overline{ a_{i} x^{i}}$$ $$= \overline{ \sum_{i=1}^{2n+1} a_{i} x^{i}} = \overline{p(z_{1})}=0$$

پس اگر $z_{1}$غیر حقیقی ریشه باشد آنگاه مزدوج آن نیز ریشه است پس تعداد ریشه های غیر حقیقی همیشه زوج است اما ما به تعداد فرد ریشه داریم لذا یکی از آنها حقیقی است.