این قضیه رو میتونید در همه کتاب های آنالیز حقیقی پیدا کنید.
اگر قرار دهید $u=f-g$ و قسمت های مثبت و منفی $u$ را درنظر بگیرید داریم $u=u^+-u^-$ که در آن $u^+=\max\{f,0\},u^-=\max\{-f, 0\}$ .
فرض کنید $E=\{x:u^+(x)\neq 0\}$ دارای اندازه مثبت باشد. چون هر جا که $u^+(x)\neq 0$ داریم $u^-(x)=0$ (چرا؟) لذا
$$\require{cancel}\int_E(f-g)=\int_Eu=\int_Eu^+-\cancelto{0}{\int_Eu^-}> 0$$
که با فرض $\int_E(f-g)=0$ در تناقض است. لذا مجموعه $ \{x:u^+(x)\neq 0\} $ دارای اندازه صفر است. و به طور مشابه می توانید ثابت کنید $\{x: u^-(x)\neq 0\}$ دارای اندازه صفر است و لذا مجموعه $\{x: u(x)\neq 0\}$ دارای اندازه صفر است. یعنی مجموعه $\{x:f(x)\neq g(x)\}$ دارای اندازه صفر است که به معنای تقریبا همه جا برابر بودن $f,g$ است.
توجه: اگر $f:X\to \mathbb C$ تابع مختلط مقدار در نظر بگیرید در اینصورت استدلال کاملا مشابه است فقط کافی است قسمت های حقیی و موهومی را در نظر بگیرید.
