آیا فرآیند مینیمم روی زیرمارتینگل های $X_n^2$ و $e^{X_n}$، زیرمارتینگل می شود؟

Question

فرض کنید $X_n$ نسبت به فیلتر $f_n$ یک مارتینگل (martingale) باشد و فرض کنید $E(x_n) < \infty$. در این صورت می‌دانم که $X_n^2$ و $e^{X_n}$ زیرمارتینگل هستند. آیا فرآیند کمینه (مینیمم) روی این دو زیرمارتینگل باز هم زیرمارتینگل خواهد بود؟

Comments

من می دونم که فرایند مینیمم روی این دو ساب مارتینگل، ساب مارتینگل نمیشه
من دنبال یک مثال نقض هستم که نشون بدم مینیمم ساب مارتینگل نیست،به عبارت دیگه دنبال یک مارتینگل$ x_n $ هستم که مینیمم $ x^2_n $ و
$ e^{x_n} $ ساب مارتینگل نشه