به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
17,095 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط fo-eng (74 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

من ماتریس ترانهاده را نمی‌فهمم. می‌شود یک ماتریس$n$ در $n$ را مثال بزنید و سپس ترانهاده‌اش را بنویسید؟

پس از دریافت پاسخ به خودم اجازه دادم که پرسش زیر را نیز در همین‌جا اضافه کنم. شکل زیر را نگاه کنید. لطفا ضرب ترانهاده این ماتریس را برای بنده حل کنید!؟

enter image description here

توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
"ضرب ترانهاده" یعنی چی؟
من پاسخمو ویرایش کردم امیدوارم منظورتونو درست متوجه شده باشم.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

برای ترانهاده کافی است جای سطر و ستونها رو عوض کنید.

مثلا ماتریس دو در دوی $$A= \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ برای نوشتن ترانهاده آن سطر اول را در ستون اول می نویسیم و سطر دوم را در ستون دوم: $$A^t= \begin{bmatrix}a & c\\ b& d \end{bmatrix} $$

به عنوان مثالی دیگر ترانهاده ماتریس سه در سه $$B= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix} $$ برابر است با $$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&7 \\ 2 & 5&8\\ 3&6&9\end{bmatrix} $$ و به همین ترتیب برای ماتریس $n\times n$ می توان عمل کرد.

البته ترانهاده برای هر ماتریس $m\times n$ تعریف می شود و لزومی ندارد حتما ماتریس مربعی باشد.

تصویر از ویکی پدیا

و اگر در حالت کلی یک ماتریس $[a_{ij}]_{m\times n}$ داشته باشیم در اینصورت رانهاده آن برابر است با $[a_{ji}]_{n\times m}$

پس اگر خواسته شما را به صورت ماتریس $$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}}&\color{red}{\cdots} &\color{red}{a_{1n}} \\ \color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}}&\color{blue}{\cdots }&\color{blue}{a_{2n}}\\ \vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\ \color{green}{a_{n1}}&\color{green}{a_{n2}}&\color{green}{\cdots}&\color{green}{a_{nn}}\end{bmatrix} $$

در نظر بگیریم ترانهاده آن به صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{21}}&\cdots&\color{green}{a_{n1}} \\ \color{red}{a_{12}} & \color{blue}{a_{22}}&\cdots& \color{green}{a_{n2}}\\ \color{red}{\vdots}&\color{blue}{\ddots}&\cdots&\color{geen}{\vdots}\\ \color{red}{a_{1n}}&\color{blue}{a_{2n}}&\cdots&\color{green}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$

ویرایش بعد از تغییر سوال:

اگر قرار دهیم $$A=\begin{bmatrix}1&3&4&-2\\ 6&2&-3&1\end{bmatrix}$$ و $$B= \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\\ -3&-2\\ 0&4\end{bmatrix} $$ در اینصورت ترانهاده $A\times B$ یعنی $(A\times B)^t$ را می یابیم.

برای این کار به دو طریق می توان عمل کرد:

  1. روش اول: ابتدا $A\times B$ را بیابیم سپس ترانهاده آ را بیابیم به اینصورت: $$A\times B= \tiny{\begin{bmatrix}(1\times 1)+(3\times 4)+(4\times(-3))+(-2\times 0)& (1\times (-2))+(3\times 3)+(4\times(-2))+(-2\times 4) \\ (6\times 1)+(2\times 4)+(-3\times (-3))+(1\times 0) & (6\times (-2)+(2\times 3)+(-3\times(-2))+(1\times 4) \end{bmatrix} } $$ $$= \begin{bmatrix}1 & -9 \\ 23 & 4 \end{bmatrix}$$ و لذا ترانهاده آن برابر است با: $$ (A\times B)^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$

  2. روش دوم: با توجه به اینکه $(A\times B)^t=B^t\times A^t$ پس کافی است ابتدا ترانهاده ها را بیابیم سپس در هم ضرب کنیم. اما داریم: $$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&-3&0 \\ -2&3&-2&4 \end{bmatrix} $$ و $$A^t= \begin{bmatrix}1 & 6 \\ 3&2 \\ 4&-3\\ -2&1 \end{bmatrix} $$ و حاصلضرب آنها $$B^t\times A^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$

توسط fardina (17,196 امتیاز)
+2
@fo-eng
به طور کلی رابطه $(A\times B)^T=B^T\times A^T$
پس برای به دست آوردن ترانهاده $A\times A$ داریم:
$(A\times A)^T=A^T\times A^T$
توسط fo-eng (74 امتیاز)
+1
ببخشید میشه یک مثال بزنید؟
یعنی من باید هرد ماتریس رو ترانهاده کنم سپس ضربشون کنم درهم؟

آیا برای جمع 2ماتریس n*n هم همین روش رو باید انجام داد.؟
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+2
برای به دست آوردن ترانهاده $A\times A$ یتونید اول ترانهاده $A$ رو به دست بیارید سپس این ترانهاده رو در خودش ضرب کنید.
و یا میتونید اول $A\times A$ رو به دست بیارید بعد ترانهاده ش رو به دست بیارید.
توسط fo-eng (74 امتیاز)
–1
ببخشید میشه مثل بالا با مثال بفرمایید.
ممنون
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
@fo-eng پس از این همه وقتی که @fardina گذاشتند و تک‌تک پرسش‌هایتان را پاسخ داده‌اند، اگر مشکل‌تان رفع شده‌است و پاسخ صحیح است و رساست بهتر نیست روی علامت تیک تأیید پاسخ در سمت راست پاسخ کلیک کنید؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...