برای ترانهاده کافی است جای سطر و ستونها رو عوض کنید.
مثلا ماتریس دو در دوی
$$A= \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ برای نوشتن ترانهاده آن سطر اول را در ستون اول می نویسیم و سطر دوم را در ستون دوم:
$$A^t= \begin{bmatrix}a & c\\ b& d \end{bmatrix} $$
به عنوان مثالی دیگر ترانهاده ماتریس سه در سه
$$B= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix} $$ برابر است با
$$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&7 \\ 2 & 5&8\\ 3&6&9\end{bmatrix} $$
و به همین ترتیب برای ماتریس $n\times n$ می توان عمل کرد.
البته ترانهاده برای هر ماتریس $m\times n$ تعریف می شود و لزومی ندارد حتما ماتریس مربعی باشد.
و اگر در حالت کلی یک ماتریس $[a_{ij}]_{m\times n}$ داشته باشیم در اینصورت رانهاده آن برابر است با $[a_{ji}]_{n\times m}$
پس اگر خواسته شما را به صورت ماتریس
$$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}}&\color{red}{\cdots} &\color{red}{a_{1n}} \\
\color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}}&\color{blue}{\cdots }&\color{blue}{a_{2n}}\\
\vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\
\color{green}{a_{n1}}&\color{green}{a_{n2}}&\color{green}{\cdots}&\color{green}{a_{nn}}\end{bmatrix} $$
در نظر بگیریم ترانهاده آن به صورت زیر خواهد بود:
$$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{21}}&\cdots&\color{green}{a_{n1}} \\
\color{red}{a_{12}} & \color{blue}{a_{22}}&\cdots& \color{green}{a_{n2}}\\
\color{red}{\vdots}&\color{blue}{\ddots}&\cdots&\color{geen}{\vdots}\\
\color{red}{a_{1n}}&\color{blue}{a_{2n}}&\cdots&\color{green}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$
ویرایش بعد از تغییر سوال:
اگر قرار دهیم $$A=\begin{bmatrix}1&3&4&-2\\ 6&2&-3&1\end{bmatrix}$$
و
$$B= \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\\ -3&-2\\ 0&4\end{bmatrix} $$
در اینصورت ترانهاده $A\times B$ یعنی $(A\times B)^t$ را می یابیم.
برای این کار به دو طریق می توان عمل کرد:
روش اول: ابتدا $A\times B$ را بیابیم سپس ترانهاده آ را بیابیم به اینصورت:
$$A\times B= \tiny{\begin{bmatrix}(1\times 1)+(3\times 4)+(4\times(-3))+(-2\times 0)& (1\times (-2))+(3\times 3)+(4\times(-2))+(-2\times 4) \\ (6\times 1)+(2\times 4)+(-3\times (-3))+(1\times 0) & (6\times (-2)+(2\times 3)+(-3\times(-2))+(1\times 4) \end{bmatrix} } $$
$$= \begin{bmatrix}1 & -9 \\ 23 & 4 \end{bmatrix}$$
و لذا ترانهاده آن برابر است با:
$$ (A\times B)^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$
روش دوم: با توجه به اینکه $(A\times B)^t=B^t\times A^t$ پس کافی است ابتدا ترانهاده ها را بیابیم سپس در هم ضرب کنیم. اما داریم:
$$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&-3&0 \\ -2&3&-2&4 \end{bmatrix} $$
و
$$A^t= \begin{bmatrix}1 & 6 \\ 3&2 \\ 4&-3\\ -2&1 \end{bmatrix} $$
و حاصلضرب آنها
$$B^t\times A^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$
