فرض کنید$R$به عنوان$R$مدول چپ، نیمه ساده باشدآنگاه ثابت کنید:

Question

فرض کنید $R$ حلقه ای یکدار و بعنوان $ R $مدول چپ نیمه ساده باشد یعنی $R $ جمع مستقیم یک سری از ایده آل های چپ مینیمال خود باشد. ثابت کنید:

$ i$) هر $R $ مدول چپ نیمه ساده است.

$ii $) $R $ برابر جمع مستقیم تعداد متناهی ایده آل چپ مینیمال است.

Answer 1

فرض کنید $M $ یک $R $ مدول دلخواه باشد. میدانیم $M= \sum_{x \in M} Rx $ از طرفی $Rx \cong_{R} \frac{R}{Ann(x)} $ و چون $ R $ به عنوان $ R$ مدول نیم ساده است لذا $ \frac{R}{Ann(x)}$ نیز به عنوان $R $ مدول نیم ساده است. لذا $ Rx $ نیز به عنوان $R $ مدول نیم ساده است پس $ \sum_{x \in M} Rx $ نیز نیم ساده خواهد بود. (قضیه ی 3 صفحه 196 جبرپیشرفته یاسمی-پورنکی)

برای اثبات قسمت دوم به اثبات قضیه های 7 و 8 در صفحه 200 جبرپیشرفته یاسمی-پورنکی مراجعه نمایید. اگر فرصت بود اثبات را قرار خواهم داد.